9278

160

рамки будут действовать силы Ампера. Поскольку токи в параллельных сторонах рамки имеют противоположные направления, а длины и магнитные поля одинаковы, ясно что силы, действующие на противоположные стороны в сумме дают 0. Следовательно равнодействующая всех сил действующих на рамку равна нулю. Это же справедливо и для рамки произвольной формы. В то же время, как мы сейчас увидим, на рамку с током в магнитном поле действует вращающий момент.

Положение рамки, как и любого витка с током принято характеризовать единичным вектором нормали n к плоскости витка. Если угол между вектором нормали и магнитным полем равен α, то силы действующие на горизонтальные стороны рамки (длиной L1 ) равны FВЕРТ = IL1 Bcosα . Эти силы имеют вертикальные направления и не создают вращающего момента относительно оси рамки. Силы, действующие на вертикальные стороны рамки (длиной L2 ) равны FГОР = IL2 × B .

Плечо каждой из этих сил относительно вертикальной оси равно d = (L1 /2)sinα .

Поэтому суммарный вращающий момент сил, действующих на рамку в магнитном поле равен:

M = 2FГОР × d = IL1L2 Bsinα .

Как видим, существуют два положения, при которых вращающий момент обращается в ноль, когда нормаль рамки направлена вдоль или противоположна магнитному полю (α = 0, π ) . Это положения равновесия рамки. Одно из этих положения является неустойчивым, а второе устойчивым. Таким образом можно заключить что рамка с током, помещенная в однородное магнитное поле будет поворачиваться пока не займет устойчивого положения равновесия, в котором плоскость рамки перпендикулярна полю. Так же ведет себя в магнитном поле стрелка компаса.

Описанное явление вращения рамки с током в магнитном поле находит практическое применение в электродвигателях и в измерительных приборах. Аналогичным свойством вращения в магнитном поле обладают витки с током независимо от их формы. Ниже мы приведем без вывода общие формулы для вращающего момента, справедливые для любых витков.

Вектором магнитного момента называют произведение силу тока в витке на

площадь витка и на единичный вектор нормали к витку: R = R , причем из двух

pm ISn

161

возможных направлений нормали нужно взять то, при котором из конца вектора n ток в витке виден текущим против часовой стрелки. Из сказанного ясно, что вектор магнитного момента витка направлен по нормали к витку.

Величина магнитного момента рамки с током, рассмотренной выше, равна pm = IL1 L2

Используя понятие магнитного момента, выражение для вращающего момента, действующего на виток с током в однородном магнитном поле удобно записать в следующем виде:

§ 7. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

При движении заряженных частиц в магнитном поле на них действует сила,

называемая силой Лоренца FЛ , направленная перпендикулярно скорости частицы υ и индукции магнитного поля B :

FЛ = q ×[υRB] ,

где q- заряд частицы.

Рис.8.

Величину силы Лоренца можно вычислить по формуле модуля векторного произведения:

FЛ = q ×υB ×sinα,

где α - угол между направлением скорости и индукции магнитного поля. На рисунке показано расположение указанных векторов в случае положительного заряда.

Поскольку движение заряженной частицы в магнитном поле эквивалентно току, ясно что направление силы Лоренца можно определять, как и силы Ампера, по правилу левой руки. Следует при этом иметь в виду, что за направление тока принимается движение положительного заряда. Закон Ампера может быть получен

162

из выражения для силы Лоренца, если просуммировать все силы, действующие на движущиеся в проводнике носители заряда при протекании по нему тока. Поэтому можно сказать, что проявление силы Лоренца является более фундаментальным научным фактом.

Наличие силы, действующей на заряженные частицы в магнитном поле, существенно определяет характер их движения. Очень важным является то, что сила перпендикулярна скорости. Как известно из механики такая сила не совершает работы, следовательно, сохраняется кинетическая энергия, а следовательно и модуль скорости частицы. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если частица движется вдоль силовых линий магнитного поля (α = 0; или π ), то

сила Лоренца обращается в нуль и частица движется равномерно и прямолинейно. 2. Если частица влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям α =π / 2,

то она движется с ускорением FЛ /m, перпендикулярным скорости и магнитному полю, с постоянной по величине скоростью. Такое движение представляет собой равномерное вращение по окружности вокруг силовой линии магнитного поля. Получим выражение для радиуса окружности. Если скорость равна υ , то сила Лоренца имеет величину qυ B и II закон Ньютона для движения по окружности дает

Важно, что период вращения не зависит от скорости частицы. Поэтому частицы одного сорта делают один оборот вокруг силовой линии за одинаковое время, хотя радиус окружности зависит от скорости частиц.

3. В общем случае, частица, влетающая в магнитное поле со скоростью υ, имеет

составляющую скорости вдоль магнитного поля, равную и

перпендикулярную полю υ = υsinα . Таким образом, результирующее движение представляет совокупность равномерного вращения вокруг силовой линии и дрейф вдоль силовой линии с постоянной скоростью. Траектория такого движения представляет винтовую линию. Радиус винтовой линии и период вращения

163

определяются прежде полученными соотношениями. Расстояние между витками или шаг винтовой линии h может быть вычислен по формуле:

h = υ|| ×T .

Движение заряженных частиц в магнитных полях встречается во многих природных явлениях таких как полярные сияния, солнечные вспышки. Жизнь на Земле обязана своим существованием, в частности, наличию силы Лоренца. Заставляя космические заряженные частицы двигаться по окружности, земное магнитное поле защищает поверхность планеты от высокоэнергичных корпускул. Энергичные частицы совершают движение по винтовым линиям вдоль магнитного поля, образуя радиационные пояса Земли.

Особенности движение заряженных частиц в магнитном поле используются в физике высоких энергий (ускорители), в электронике для создания генераторов излучения, в термоядерной энергетике для магнитного удержания плазмы.

§ 8. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

В настоящем параграфе на простой модели будет получено полезное соотношение для расчета работы при движении проводника с током в магнитном поле.

Пусть имеется цепь, по которой течет постоянный ток. Провод длиной L, изображенный на рисунке вертикальным, может скользить по горизонтальным подводящим проводам сохраняя электрический контакт с ними. Вся схема находится во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости рисунка. При этом на подвижный проводник будет действовать сила Ампера, также изображенная на рисунке.

Вычислим работу силы Ампера, если перемещение проводника равно

рис.9).

164

Рис.9.

Вычисление работы представим последовательностью формул:

= × DR = × D = × D = × × D ,

A FA r FA r ILB r I B S

где DS = L × Dr .

Здесь учтено что, во-первых, сила перпендикулярна перемещению, во-вторых, ток в проводнике перпендикулярен магнитному полю, а кроме того, введено обозначение DS для площади, покрытой проводником при движении (эта же величина представляет собой увеличение площади замкнутого контура, по которому течет ток, рис.9).

Величина DФ = В × DS представляет собой поток вектора магнитной индукции (или магнитный поток) через площадку DS , перпендикулярную магнитному полю.

В случае произвольной площадки поток вектора магнитной индукцииDФ

равен:

DФ = В × DS = В × DS × cosα ,

где a -угол между направлением вектора Ви нормалью к площадке.

Нетрудно заметить, что понятие магнитного потока аналогично потоку вектора напряженности электрического поля. В физике рассматриваются потоки и других векторных полей, причем все они определяются аналогично. Например, поток вектора скорости несжимаемой жидкости через площадь поперечного сечения трубы равен объему жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени.

Таким образом, полученная нами формула для работы может быть записана с использованием понятия магнитного потока:

А = I × DФ ,

током в магнитном поле равна величине тока, умноженной на изменение магнитного потока через замкнутый контур, в который входит проводник.

Данная формула универсальна, хотя мы получили ее в частном случае. Удобство этой формулы состоит в том, что в ряде случаев при вычислении работы можно избежать интегрирования (например, вычисляя работу при повороте рамки с током в магнитном поле).

Примеры решения задач

Задача 1. Ток I течет по прямоугольному проводнику со сторонами 2 a и 2b. Вычислить напряженность магнитного поля в произвольной точке на оси, перпендикулярной плоскости проводника и проходящей через пересечение его диагоналей.

Каждая из сторон прямоугольного контура представляет собой проводник конечной длины, создающий магнитное поле в выбранной точке на оси z. В этой связи для нахождения искомой напряженности магнитного поля сначала рассмотрим задачу о нахождении напряженности магнитного поля, создаваемого в вакууме тонким прямолинейным проводником длиной 2L, по которому проходит ток I.

167

Окончательно искомая напряженность направлена по оси Z и может быть вычислена по формуле:

Задача 2. По двум параллельным прямым проводникам длиной 4 м каждый, находящимся в вакууме на расстоянии 20 см друг от друга, в противоположных направлениях текут токи I1=40 А и I2=70 А. Определить силу взаимодействия токов.

Направление сил Ампера F1 и F2 для каждого тока определим по правилу левой руки.

Запишем закон Ампера для тока I1 , находящегося в магнитном поле B2 :

168

Аналогично закон Ампера для тока I2 , находящегося в магнитном поле B1 :

dF2 =I2dl2B1.

Магнитное поле прямого бесконечного тока:

Подставим значения магнитных индукций в законы Ампера для каждого тока:

Заметим, что значения сил совпадают, т.к. dl1 =dl2 =dl - элементы бесконечно малой длины.

Таким образом, сила взаимодействия бесконечно малых элементов тока:

Интегрируя это выражение по длине, найдем искомую силу взаимодействия:

Задачи для самостоятельного решения

1.По прямому бесконечно длинному проводу течет ток 10 А. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого этим проводом на расстоянии 50 см от него.

2.Определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии 4 см от его середины. Длина отрезка провода 20 см, а сила тока в проводе

20 А.

3. Определить значение индукции магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной 15 см, если по рамке течет ток 10 А.

169

4.На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами, текущими в

противоположных направлениях. Расстояние между проводниками АВ = 10 см, значения токов в проводниках составляют I1=10 А, I2=20 А. Найти напряженности магнитного поля, создаваемые этими токами в точках М1 и М2 и М3, если известны расстояния М1А = 2 см, АМ2 = 4 см и ВМ3 = 3 см.

5.В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл находится прямой проводник длиной 30 см, по которому течет ток 10 А. На проводник действует сила 25 Н. Определить угол α между направлениями тока и вектором магнитной индукции.

6.В вертикальном однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл подвешен на двух тонких проволочках горизонтальный проводник массой 30 г и длиной 50 см. По проводнику пропускают ток силой 1,2 А. Определите, на какой угол от вертикали отклонятся проволочки.

7.Прямоугольная рамка со сторонами 60 см и 20 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током 16 А так, что длинные стороны рамки параллельны проводу. Сила тока в рамке составляет 4 А. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии 10 см, а ток в ней сонаправлен току I.

8.Электрон влетает со скоростью 5 105 м/с в однородное магнитное поле с индукцией 1,4 Тл, причем его скорость направлена перпендикулярно вектору магнитной индукции. Определите радиус окружности, по которой будет двигаться электрон.

9.Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности радиусом 4 см со скоростью 0,5 106 м/с. Индукция магнитного поля 0,3 Тл. Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия 12 кэВ.

10.Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл по окружности. Определить угловую скорость вращения электрона