9278

140

умноженное на минус 1. Поэтому недостающие два соотношения для определения трех неизвестных токов можно получить, пользуясь вторым правилом – для контуров.

2. Выберем замкнутый контур А-ε1 -Б –R –А и направление его обхода по часовой стрелке (выбирается произвольно). Применим для него второе правило Кирхгофа:

ε1 = I1r1 + IR .

ЭДС имеет знак + поскольку, при движении внутри источника, проходится от отрицательной к положительной клемме. Вторым возьмем контур А- R – Б - ε2 - А и обойдем его против часовой стрелки. Второе правило Кирхгофа в этом случае приводит к соотношению:

−ε2 = −IR − I 2 r2 .

3.Решаем полученные уравнения относительно неизвестных токов и в результате получим ответ для любых значений элементов цепи:

(для краткости записи обозначим r|| ≡ r1 + r2 )

Видим, что токи, текущие через источники, могут менять направление (знак) в зависимости от параметров цепи. Поэтому угадать как нужно ставить стрелки до решения задачи невозможно.

Из первой формулы можно сделать вывод, что батарею из двух параллельно присоединенных источников тока можно заменить одним источником со следующими параметрами:

ток, равный I при прежнем сопротивлении нагрузки R.

Подставляя значения, найдем: U=1,5 В.

Ответ: U=1,5 В

Задача 4. В электрической схеме, изображенной на рисунке, значения сопротивлений равны: R1=5 Ом,

R2=30 Ом, R3=10 Ом, R4=40 Ом, R5=15 Ом. ЭДС источника 120 В. Вычислить токи, текущие в каждой ветви электрической цепи.

Запишем первое правило Кирхгофа для узла A: I1 −I2 −I3 =0.

Для узла B записывать первое правило Кирхгофа бессмысленно, поскольку в него втекают и вытекают те же токи, что и в узел A.

Применим второе правило Кирхгофа. Для этого выберем любой из имеющихся в электрической схеме замкнутых контуров. Например, контур ABCD. Чтобы правильно расставить знаки при записи алгебраической суммы падения напряжений, произвольно выберем направление обхода в этом контуре. Отметим, что

направлением большинства токов, текущих в замкнутом контуре. В нашем случае направление обхода будет выбрано по часовой стрелке.

Падение напряжения происходит на элементах, обладающих сопротивлением.

Для рассматриваемого контура ABDC этими элементами являются сопротивления R ,

1

R2 и R5. Отметим, что падения напряжений на этих сопротивлениях мы будем считать положительными, поскольку направление тока через них совпадает с выбранным нами направлением обхода.

Итак, алгебраическая сумма падений напряжения для контура ABDC запишется как:

I2R5 +I1R2 +I1R1;

В правой части второго правила Кирхгофа должна быть записана алгебраическая сумма ЭДС, действующих в рассматриваемом контуре. В контуре ABDC нет ни одного элемента ЭДС, поэтому для этого контура алгебраическая сумма падений напряжений будет равна нулю.

Окончательно, второе правило Кирхгофа для контура ABDC:

I2R5 +I1R2 +I1R1 =0 ,

I1 (R1 + R2 ) + I2 R5 = 0 .

Теперь рассмотрим контур ABEF. Для него также выберем направление обхода по часовой стрелке.

Алгебраическая сумма падений напряжений для этого контура может быть записана как:

I3R3 +I3R4 −I2R5 .

Отметим, что падение напряжения на сопротивлении R5 считается отрицательным,

потому что направление тока, текущего через него, противоположно выбранному направлению обхода контура.

Теперь запишем алгебраическую сумму ЭДС, действующих в рассматриваемом контуре. В контуре ABEF есть только один элемент ЭДС. Чтобы правильно определить его знак – условно положительный или отрицательный, воспользуемся правилом: если выбранное направление обхода в контуре таково, что обход

считается положительной. Если нет – отрицательной.

В нашем случае при обходе контура ABEF по часовой стрелке мы движемся от положительной пластины ЭДС к отрицательной, значит она положительна. Окончательно, второе правило Кирхгофа для контура ABEF:

I3R3 +I3R4 −I2R5 =ε ,

I3 (R3 + R4 ) − I2 R5 = ε .

Итак, на основе применения первого и второго правил Кирхгофа, мы получили систему трех уравнений, содержащих три искомых тока:

I1 −I2 −I3 =0,

I1 (R1 + R2 ) + I2 R5 = 0 ,

I3 (R3 + R4 ) − I2 R5 = ε .

Решая полученную систему любым методом, найдем значения токов: I1 ≈0,6 A,

I2 ≈−1,4 A, I3 ≈2 A.

Полученное отрицательное значение тока I2 свидетельствует о том, что произвольно выбранное нами направление для него оказалось неверно – на самом деле ток I2 будет течь в другую сторону.

Ответ: I1 =0,6 A, I2 =−1,4 A, I3 =2 A.

146

Задачи для самостоятельного решения

1.Медная проволока массой 500 г имеет сопротивление 65 Ом. Вычислите длину проволоки и площадь ее поперечного сечения.

2.Вычислить сопротивление R0 медной проволоки, если известно, что при увеличении ее длины на 4 метра, сопротивление возрастает 3 раза. Площадь поперечного сечения проволоки составляет 1,7 мм2.

3.Чтобы измерить сопротивление проводника, его включают в схему, содержащую источник тока с ЭДС 10 В, амперметр сопротивлением 0,05 Ом и вольтметр сопротивлением 20 Ом. Показания амперметра 90 мА, показания вольтметра 5 В. Вычислите сопротивление исследуемого проводника.

4.Нагревательный элемент представляет собой непроводящую катушку, на которую виток к витку навита медная проволока. Диаметр катушки составляет 5 см, диаметр проволоки – 2,5 мм. Вычислите, какое число витков необходимо навить на катушку, чтобы нагревательный элемент имел сопротивление 13,6 Ом.

5.В электрической схеме, изображенной на рисунке, значения известных сопротивлений равны: R1=15 Ом, R2=30 Ом, R3=10 Ом. ЭДС источника 70 В, его внутреннее сопротивление 2 Ом. Вычислить значение сопротивления R4, если через него идет ток 1,5 А.

6.Во сколько раз отличается сопротивление медной и алюминиевой проволоки одинаковой длины и площади поперечного сечения?

147

7. В электрической схеме, изображенной на рисунке, значения сопротивлений равны: R1=20 Ом, R2=30 Ом, R3=5 Ом, R4=25 Ом, R5=R6=40 Ом. ЭДС источника составляет 150 В. Вычислить значения токов в каждой ветви данной цепи.

8.Амперметр с собственным сопротивлением 0,4 Ом может измерять токи до 10 А. Какое сопротивление нужно взять и как его включить, чтобы этим амперметром можно было измерять ток до 100 А?

9.Вольтметр с собственным сопротивлением 500 Ом предназначен для измерения разности потенциалов до 20 В. Какое сопротивление нужно взять и как его включить, чтобы этим вольтметром можно было измерять напряжения до 70 В?

10.Электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R1=R2=R5=R6=6 Ом, R3=30 Ом, R4=16 Ом, подключена к напряжению 24 В как показано на рисунке. Вычислите силу тока через резистор R3.

148

Глава 11. Магнитное поле постоянного тока

Постоянные магниты были известны еще в древности, поскольку проявления их можно наблюдать в природе. Позже, в 1820 г. Эрстедом была обнаружена связь магнитных явлений с электрическими. Он обнаружил, что прямолинейный ток взаимодействует с магнитной стрелкой, причем последняя устанавливается перпендикулярно направлению тока.

§ 1. Действие магнитного поля на ток. Индукция магнитного поля

Взаимодействие постоянного магнита и тока на расстояние можно объяснить наличием вокруг постоянного магнита особой формой материи - магнитного поля. Французский физик А. Ампер провел систематические исследования силы взаимодействия между полем постоянного магнита и проводником с током. Результатом этих исследований является закон, позволяющий вычислить силу магнитного воздействия на проводник с током в зависимости от характеристики магнитного поля – индукции магнитного поля.

Основные положения удобно формулировать для проводника бесконечно малой (практически достаточно малой) длины. Назовем элементом тока вектор, модуль которого равен произведению длины малого проводника на силу тока в нем,

а направление совпадает с направлением тока ( I × l ).

Измеряя силу, действующую на элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля (силу Ампера FА ) можно прийти к следующим выводам:

- сила пропорциональна модулю элемента тока FА ~I×l;

- направление силы перпендикулярно элементу тока FА ^( I × l );

- величина силы зависит от направления элемента тока; при некоторой ориентации элемента тока сила в данной точке пространства обращается в ноль, а при повороте элемента тока на угол π / 2 относительно этого направления, сила принимает максимальное значение для данной точки пространства FMAX . Значение FMAX /(I×l) не

характеристикой магнитного поля в данной точке пространства – индукцией магнитного поля - B :

B = FMAX

I × l .

Таким образом индукцией магнитного поля называется вектор, модуль которого равен максимальной силе, действующей на единичный элемент тока, помещенный в данную точку магнитного поля. За направление вектора магнитной индукции принимается направление вектора элемента тока, при котором сила Ампера обращается в ноль в данной точке пространства. Это направление я совпадает с ориентацией северного полюса магнитной стрелки.

В системе СИ единицей измерения магнитной индукции является тесла (Тл), связанная с другими единицами соотношением 1 Тл=1 Н/(А м). То есть один тесла это индукция такого магнитного поля, которое действует на проводник с током 1 ампер с максимальной силой 1 Н на каждый метр длины проводника.

Суммируя отмеченные свойства силы и определение магнитной индукции, можно записать закон Ампера, определяющий величину и направление силы, действующей на элемент тока, помещенный в магнитное моле:

FA = [Il × B ] ,

где квадратные скобки подразумевают векторное произведение. Предлагаем убедиться, что приведенная формула правильно описывает все перечисленные свойства силы Ампера.

Пользуясь известным выражением для модуля векторного произведения, получим из закона Ампера формулу для вычисления величины магнитной силы:

FA = I × l × B × sinα ,

где a ¾ угол между элементом тока и вектором B . Направление силы Ампера можно определить либо из векторного произведения, либо по правилу левой руки: «если расположить левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены в направлении тока в проводнике, а вектор магнитной индукции – в ладонь, то отставленный большой палец покажет направление силы».