9278

90

пара ртути при этой температуре 0,13 Па.

9.Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость молекул газа составляет 480 м/с.

10.После того, как в комнате протопили печь, температура поднялась с 15°С до 27°С при неизменном давлении. На сколько процентов изменилось число молекул в этой комнате?

11.Определить температуру газа, находящегося в закрытом баллоне, если его давление увеличилось на 0,4% первоначального при нагревании на 1 К.

12.Определите кинетическую энергию хаотического поступательного движения всех молекул любого газа в баллоне емкостью 10 л и давлением 0,4 МПа.

Глава 2. Термодинамический подход

§ 1. Первое начало термодинамики

На основе обобщения многих экспериментальных фактов установлено, что если путем теплообмена с окружающей средой термодинамической системе передано количество теплоты Q и при этом система совершила против внешних сил работу A, то строго выполняется следующее соотношение:

Q = ∆U + A.

Количество теплоты, полученное системой, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил. Это положение получило название первого начала термодинамики и, по сути, является обобщением закона сохранения энергии на тепловые процессы.

Для бесконечно малого изменения состояния системы первое начало термодинамики имеет вид:

δQ = dU + δA.

Здесь dU является полным дифференциалом, поскольку зависит только от начального и конечного состояния системы. В то же время, количество теплоты δQ и работа δA не являются полными дифференциалами, а зависят от того, каким

Если dV > 0, то и δA > 0 и говорят, что работу совершает газ; если dV < 0, то δA < 0 и в этом случае работа совершается над газом, поскольку в последнем случае будет положительной работа внешних сил (по III закону Ньютона внешние силы равны силам давления газа, но имеют противоположное направление, поэтому их работа отличается знаком от работы газа). В частности, при изохорическом процессе, когда V=const, dV=0, элементарная работа δA=0. Это обстоятельство аналогично механической ситуации, когда при наличии силы тело покоится и, следовательно, не совершает работу.

Изобразим процесс изменения объема газа графически в координатах {р,V}. Пусть начальное состояние газа соответствует точке 1 со значениями р1, V1, а

конечное состояние - точке 2 со значениями р2, V2. Процесс графически можно представить кривой, соединяющей точки 1 и 2 (рис. 8).

Элементарная работа δA, определяемая формулой (2.1), равна площади заштрихованной площадки. Полная работа A1-2 равна сумме всех элементарных работ

и эквивалентна всей области, лежащей под кривой, изображающей процесс (в нашем случае 1-2). В случае обратного процесса 2-1 работа изображается той же площадью, но имеет противоположный знак (в этом случае dV отрицательно).

Таким образом, работа, в отличие от внутренней энергии, не является функцией состояния системы и δA не может рассматриваться как полный

дифференциал некоторой функции A. Для того, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в термодинамике элементарную работу изображают δA (в отличие от дифференциала внутренней энергии dU).

§ 3. Количество теплоты и теплоемкость

Теплота, как и работа, не является функцией состояния, а зависит от процесса изменения состояния системы. Поэтому элементарное количество теплоты тоже обозначается частным дифференциалом δQ. В системе СИ теплота, как и другие виды энергии, измеряется в джоулях (Дж). На практике широкое распространение имеет и другая единица теплоты - калория (кал). Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания одного грамма воды на один градус. Одна калория составляет 4,18 джоуля: 1 кал=4,18 Дж.

С понятием теплоты тесно связано понятие теплоемкости. Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которое надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус. Если к телу подведено некоторое количество теплоты δQ, в результате чего температура его увеличилась на dT,

теплоемкость тела Cтела равна:

тела = ¸¹Ft

В СИ теплоемкость тела измеряется Дж/К.

вещества. Значит, если масса тела равна m, то удельная теплоемкость равна c=Cтела/m. В СИ c измеряется в Дж/(кг К).

Молярной теплоемкостью С называется теплоемкость одного моля вещества. Она

измеряется в Дж/(моль К). Поскольку моль содержит массу вещества, равную молярному весу µ, можно написать связь молярной и удельной теплоемкостей:

С=µ с.

Удобство введения понятий удельной и молярной теплоемкостей объясняется

тем, что эти величины не зависят от массы тел, а определяются лишь свойством материала, что облегчает составление таблиц. Если известна молярная или удельная теплоемкости процесса, элементарное количество теплоты можно подсчитать по формулам:

§ 4. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе

совершаемая газом против внешней силы, равна нулю. Первое начало

Таким образом, в изохорном процессе вся теплота, подведенная к газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Используя уравнение (3.1), выразим изменение теплоты δQ через изменение температуры dT:

С другой стороны, ранее было получено выражение для внутренней энергии идеального газа в зависимости от числа i степеней свободы составляющих его

Таким образом, молярная теплоемкость при постоянном давлении для идеального газа не зависит от термодинамических параметров, а определяется характером газа (числом степеней свободы молекул).

Изобарный процесс (p=const). Примером изобарного процесса может служить процесс теплообмена с газом, находящимся в цилиндре под поршнем (рис. 7), нагруженным постоянной внешней силой. В соответствии с (2.2) работа,

координатах (p,V) имеет вид прямоугольника. Уравнение первого начала термодинамики для изобарного процесса имеет вид (4.1), в котором давление следует считать постоянным.

Если обозначить через Ср молярную теплоемкость газа процесса,

протекающего при постоянном давлении, то согласно (3.1) выражение для притока

96

Значение производной dU/dT, входящей в правую часть полученного равенства, можно подставить из формулы (4.4). При вычислении dV/dT можно воспользоваться уравнением состояния pV=m/µ RT, но необходимо помнить, что процесс

Это соотношение называется уравнением Майера. Из него следует, что теплоемкость при изобарическом нагревании всегда больше такого же процесса, происходящего при постоянном объеме ( q > x). Уравнение Майера справедливо в случае идеального газа, но вывод, что q > x имеет место в случае любых газов и многих других систем.

Он обязан способности тел расширяться при нагревании. При изохорном нагревании подведенная теплота идет только на увеличение внутренней энергии системы, а при изобарном процессе дополнительно затрачивается на работу, производимую телом при его расширении против сил внешнего давления. Поэтому для нагревания на один градус в изобарическом процессе требуется затратить большее количество тепла, а процесс имеет большую теплоемкость.

термодинамики для любого процесса справедливо:

Q=∆U+A.

Для идеального газа внутренняя энергия U определяется его температурой T, следовательно, для изотермического процесса (поскольку ∆T=0 и ∆U=0) первое начало имеет вид:

97

Таким образом, при изотермическом процессе вся подведенная теплота расходуется на совершение работы газа. При этом подвод тепла не приводит к изменению температуры газа. Теплоемкость газа в таком процессе бесконечна ( y = ∞). Действительно, какое бы ни было большое количество тепла подведено к газу, изменить его температуру (даже на один градус) не удастся (поскольку T = const).

Найдем работу расширения газапри изотермическом процессе. В соответствии с формулой (2.2):

= ”x, = ∙ F}

xh .

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа найдем закон

изменения давления:

= = † šy [ x ,

который подставим под знак интеграла и вынесем постоянные за знак

интегрирования (T=const):

= †šy[ ”xxh, »xx .

После интегрирования будем иметь:

= †šy ∙ ln x,. (4.12)

[ xh

Во всех рассмотренных процессах мы рассматривали ситуацию, когда теплота подводится к газу (δQ≥0). В этом случае газ нагревается (dU≥0, dT≥ 0), расширяется (dV ≥0,V2≥V1) и совершает работу (δA≥0). Однако полученные при этом формулы сохраняют свой вид и в обратном процессе сжатия и охлаждения газа. В последнем случае все перечисленные величины имеют ту же абсолютную величину, но обратный знак. Это означает, что для сжатия газа необходимо совершать работу внешними силами (над газом), а тепло газом отдается другим телам.

§5. Адиабатический процесс

Вуравнение состояния газа входят три термодинамических параметра: p, V, T. Первое начало термодинамики также оперирует тремя величинами δQ, dU, δА.

98

Выше мы рассмотрели простейшие процессы, при которых один из термодинамических параметров остается постоянным. При этом, поскольку внутренняя энергия идеального газа определяется только температурой (U=m/µCυT), изотермический процесс является в то же время процессом постоянной внутренней энергии (dU = 0). Аналогично этому можно сказать, что изохорный процесс (V=const) является процессом без совершения работы (δA=0). Таким образом, из простейших процессов, описываемых названными шестью величинами, мы не рассмотрели только процесс, в котором δQ=0.

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой. В таком процессе

Q=0, причем не только суммарное количество теплоты, полученное термодинамической системой, равно нулю, но и в каждом элементарном процессе выполняется условие δQ=0. При этом процессе температура изменяется, несмотря на

отсутствие теплопередачи. При адиабатном процессе теплоемкость газа, в соответствии с определением, равна нулю. Примером такого процесса может быть рассмотренный выше процесс сжатия или расширения газа в цилиндре под поршнем при условии, что стенки цилиндра и поршень имеют идеальную тепловую

Таким образом, в адиабатическом процессе работа, совершается газом против внешних сил только за счет уменьшения внутренней энергии газа. Поэтому при адиабатическом расширении температура газа уменьшается, а при адиабатическом сжатии - увеличивается. В результате этого адиабата в плоскости {р, V} проходит круче, чем изотерма (рис.10). Эффект адиабатического изменения температуры широко используется в технике, например, при сжижении газов.

99

В дифференциальной форме первое начало термодинамики для адиабатического

Для идеального газа x - постоянная величина, поэтому легко проинтегрировать равенство (5.3) и получить:

ln ´t ∙ } Ã µ = (z{|

ÄÂ .

Логарифм какой-либо величины имеет постоянное значение, если под знаком логарифма также стоит постоянная величина, поэтому

Это соотношение дает связь термодинамических параметров при адиабатическом процессе.

Безразмерная величина γ=CР/Cυ называется показателем адиабаты и

определяется числом степеней свободы молекулы газа. Подставив значения CР и CV