8777
.pdf
ПРАКТИКА
Практика №1.
Пример 1. Для заданного поперечного сечения стального стержня, состоящего из следующих элементов:
1.вертикального листа 400 х 12 мм;
2.прокатного двутавра №20;
3.прокатного швеллера №20;
4.неравнополочного уголка 100 х 65 х 10 мм,
необходимо определить:
-положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);
-главные центральные оси поперечного сечения;
-главные центральные моменты инерции поперечного сечения;
-главные центральные радиусы инерции сечения.
Ре ш е н и е.
Геометрические характеристики элементов, составляющих заданное сечение:
№ |
|
Площадь в |
Моменты инерции сечения элементов в см4 |
|||||
эл- |
|
см2 |
|
|
|
|
|
|
Элементы |
|
Jx i |
|
Jy i |
J x i y i |
|||
та |
|
Аi |
|
|
|
|
|
|
1 |
Вертикальный лист |
А1 = 48.0 |
Jx 1 |
= 6400 |
Jy 1 |
=5.76 |
Jx 1 y 1 |
= 0 |
|
400х12 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Двутавр №20 |
А2= 26.8 |
Jx 2 |
= 115 |
Jy 2 |
= 1840 |
J x 2 y 2 |
= 0 |
3 |
Швеллер №20 |
А3= 23.4 |
Jx 3 |
= 1520 |
Jy 3 |
= 113 |
J x 3 y 3 |
= 0 |
4 |
Уголок 100х65х10 |
А4= 15.67 |
J x 4 |
= 51.68 |
Jy 4 |
= 155.52 |
J x 4 y 4 |
= 51.18 |
1). Общая площадь составного сечения
А = ∑ Аi= 48.0 + 26.8 + 23.4 + 15.67 = 113.87 см2.
2). Статические моменты заданного сечения относительно осей х1 и у1 |
|
|||||||||||
Sx 1 |
=∑Ai yi |
= 48 · 0 + 26.8 · 15 + 23.4 · (-10) + 15.67 · (-18.36) = - 119.7 см3, |
||||||||||
Sy 1 |
=∑Ai xi |
= 48 · 0 + 26.8 · 10.6 + 23.4 · 2.67 |
+ 15.67 · (-3.97) = 284.35 см3. |
|||||||||
3). Координаты центра тяжести составного сечения |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Sy 1 |
|
284.35 |
|
Sx 1 |
−119.7 |
|
|
|||
|
xc = |
|
|
= |
|
=2.50см, yc = |
|
|
= |
|
=−1.05 |
см. |
|
|
A |
113.87 |
A |
|
113.87 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4). Координаты центров тяжести элементов сечения относительно осей х и у
точка С1: a1 = 1.05 см, |
|
|
|
b1 = - 2.5 см; |
|
|||||||||||||
точка С2: а2 = 15 + 1.05 = 16.05 см, |
b2= 10.6 – 2.5 = 8.1 см; |
|
||||||||||||||||
точка С3: а3 = - (10.0 – 1.05) = - 8.95 |
см, |
b3= 2.67 – 2.50 = 0.17 см; |
|
|||||||||||||||
точка С4: а4 = - (18.36 – 1.05) = - 17.31 см, |
b4 = - (3.97 + 2.5) = - 6.47 см. |
|||||||||||||||||
5). Моменты инерции сечения относительно осей х и у |
|
|||||||||||||||||
Jx |
= ∑( Jx i + Ai ai2 ) = [6400 + 48 · 1.052] + [115 + 26.8 ·16.052] + |
|
||||||||||||||||
|
|
+ [1520 + 23.4 · (-8.95)2] + [51.68 + 15.67 · (-17.31)2] = 21613.04 см4, |
||||||||||||||||
Jy |
= ∑( Jy i + Ai bi2 ) = [5.76 + 48 · (-2.5)2] + [1840 + 26.8 · 8.12] + |
|
||||||||||||||||
|
|
+ [113 + 23.4 · 0.172] + [155.52 + 15.67 · (-6.47)2] = 4829.27 см4, |
|
|||||||||||||||
Jxy |
= ∑( Jx i y i + Ai ai |
bi ) = [0 + 48 · 1.05 · (-2.5)] |
+ [0 + 26.8 ·16.05 · 8.1] |
+ |
||||||||||||||
|
|
+ [0 + 23.4 · (-8.95) · 0.17] + [51.18 + 15.67 · (-17.31) · (-6.47)] = 5128.68 см4. |
||||||||||||||||
6). Главные центральные моменты инерции заданного сечения |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
J max |
= J1,2 = |
Jx +Jy |
± |
1 |
|
[(Jx - Jy )2 + 4 J 2xy ]= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
21613.04 + 4829.27 |
± |
1 |
|
[(21613.04 - 4829.27)2 + 4×5128.68 2 ] |
= 13221.16 ± 9834.99. |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Jmax |
= J1 = 23056.15 см4, |
|
|
|
|
Jmin = J2 = 3386.17 |
см4. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка: Jx + Jy = 21613.04 + 4829.27 = 26442.31 см4,
J1 + J2= 23056.15 + 3386.17 = 26442.32 см4.
7). Углы наклона главных центральных осей инерции сечения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
tgαmax |
= |
|
Jxy |
|
|
= |
|
|
|
5128.68 |
|
= - 0.28138, |
|
|
αmax |
= -15.72 |
o |
. |
|||||||||||||||||||
Jy |
|
|
|
|
4829.27 - 23056.15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
- Jmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
tgαmin |
= |
|
|
Jxy |
|
|
= |
|
|
|
|
|
5128.68 |
|
|
= 3.5539325, |
|
|
|
αmax |
= 74.28 |
o |
. |
||||||||||||||
Jy |
|
|
|
|
|
4829.27 - 3386.17 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
- Jmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Проверка: |
|
αmax |
|
+ |
|
αmin |
|
= 15.72o + 74.28o = 90o. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8). Главные центральные радиусы инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
imax = |
|
Jmax |
|
|
= |
|
|
|
23056.15 |
|
= 14.23 см, imin = |
Jmin |
= |
|
3386.17 |
|
= 5.45 см. |
||||||||||||||||||||
|
A |
113.87 |
|
113.87 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у4 |
|
у1 |
у3 |
|
|
|
|
у2 |
|
|
|
|
3.97 см |
|
2.67 см |
min (2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
10.60 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
2.50 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
MAX = - |
15. |
72 |
O |
х |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.37 см |
|
|
|
|
|
|
20.00 см |
|
|||
10.00 см |
1.20 см |
7.60 см |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Для заданного поперечного сечения стержня, состоящего из следующих фигур:
1.полукруга с диаметром 8 см;
2.равнобедренного треугольника 6х9 см;
3.прямоугольного отверстия 2х3 см;
необходимо определить:
-положение центра тяжести поперечного сечения (т. С);
-главные центральные оси поперечного сечения;
-главные центральные моменты инерции поперечного сечения;
-моменты сопротивления сечения.
Ре ш е н и е.
Вычисление геометрических характеристик фигур, составляющих заданное сечение,
выполнено и представлено в таблице.
1). Определяем общую площадь заданного сечения
А = А1 + А2 – А3 = 25.13 + 27 - 6 = 46.13 см2. 2). Определяем статический момент сечения относительно оси х1.
Sx 1 = y1 A1 + y2 A2 - y3 A 3 = 0 + (-4.7) ×27 - (-3.2) ×6 = -107.7 см3 .
3). Определяем координаты центра тяжести заданного сечения.
Поскольку заданное сечение имеет ось симметрии (ось у), то центр тяжести располагается на этой оси, поэтому необходимо определить только координату ус
yc = Sx 1 = - 107.7 = - 2.335 см .
A 46.13
4). Через полученный центр тяжести проводим горизонтальную ось х.
Оси х, у является искомыми главными центральными осями инерции заданного сечения,
т.к. ось у – |
ось симметрии и Jxy = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5). Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Jx |
= (Jx 1 + a12 A1 )+ (Jx 2 + a22 A 2 )- (Jx 3 + a32 A 3 )= [0.28 ×100.53 + 2.335 2 ×25.13 ]+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
[121.5 + (- 2.365) 2 ×27] - [4.5 + (- 0.865) 2 ×6]= 428.69 см4 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Jy |
= Jy |
+ |
Jy |
2 |
- Jy |
= 100.53 + 40.5 - 2 = 139.03 см4 , |
Jxy = Jx y |
1 |
+ Jx |
y |
2 |
- Jx |
y |
= 0 . |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
3 |
||||
Из полученного решения следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Jmax = J1 = Jx = 428.69 см4, Jmin = J2 = Jy = 139.03 см4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6). Вычисляем осевые моменты сопротивления сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Wx( 1) = |
Jx |
= |
428.69 |
= 92.49см3 , |
Wx( 2 ) = |
|
|
Jx |
|
|
= |
428.69 |
= 51.25см3 , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
y1 |
4.635 |
|
|
y2 |
|
|
8.365 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
= |
|
Jу |
|
= |
139.05 |
= 34.76см3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.00 |
|
|
|
|
|
1.50 |
|
|
|
|
|
1.70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.00 |
|
|
|
|
|
1.50 |
|
|
|
|
|
A1 = |
π 82 |
=25.13см |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 3 = 2× 3 = 6см2 |
|
|||||||
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
=0.28 π 84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
J x1 |
=0.28×100.53см4 |
A 2 = |
2 ×6 |
× 9 = 27 cм2 |
|
|
Jx3 |
= 2×33 |
= 4.5 см4 |
||||||||||||
|
|
π 8 |
4 |
128 |
|
|
|
Jx2 |
= |
6×93 |
=121.5 см |
4 |
|
|
|
12 |
3 |
|
|
||
Jy1 |
= |
|
=100.53см |
4 |
36 |
|
|
|
|
Jy3 |
= |
3 ×2 |
|
=2см |
4 |
||||||
128 |
|
|
|
3 |
|
|
12 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 9×6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
J x1y1 =0 |
|
|
|
|
|
Jy 2 |
|
|
= 40.5 см4 , Jx2 y 2 |
= 0 |
Jx3y3 =0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика №2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 1. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис. 56.
Рис. 56
Решение
1. Опоры не показаны, поэтому определять неизвестные реакции не требуется.
Надо думать, что либо F1, либо F5, либо обе эти силы и являются реакциями, которые были найдены заранее.
Все силы, приложенные к телу, должны находиться в равновесии. В противном случае оно начинает движение с ускорением, что недопустимо для элемента строительной конструкции. Проверим равновесие сил в данном случае
∑z=F1+F2 –F3 +F4 –F5 = 10+30-70+50-20=90-90=0 .
Равновесие есть.
Рис.57 |
2. Нумеруем участки. На каждом из них произвольно показываем сечение.
Рассматривая либо левую, либо правую часть стержня, вычислим значение усилия
N, учитывая формулу:
1 участок (левая часть) |
N1 = -F1= - 10 кН |
(сжатие); |
||
2 |
участок (левая часть) |
N2 = - F1- F2= -10-30=-40 кН |
(сжатие); |
|
3 |
участок (правая часть) |
N3 |
= +F4– F5= 50-20=30 кН |
(растяжение); |
4 |
участок (правая часть) |
N4 |
= - F5= - 20 кН |
(сжатие). |
3. Строим график N(z), учитывая то, что на каждом из участков усилие N постоянно.
Убедимся для проверки, что высота и направление «скачков» на графике соответствует внешней нагрузке.
Из рис. 575, в частности, видно, что все участки стержня, за исключением участка № 3, сжаты, наиболее нагруженным является участок № 2 . Сжимающее усилие в нем равно 40 кН (около 4-х тонн).
Задача 2.2. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис. 58
при следующих значениях нагрузок:
F1= 40 кН, F2= 10кН, F3= 20 кН, q1= 30кН/м, q2 = 5кН/м .
Рис. 58
Решение
1.Определим неизвестную опорную реакцию R, составив уравнение равновесия для всего стержня:
∑Z = 0, - R – F 1 + F2 + F3 + q1 ·2 - q2 ·3 = 0, R = - 40 + 10 + 20 + 30 · 2 – 5 · 3 = + 35 кН.
Рис. 59
2. Пронумеруем участки стержня (по направлению к заделке). В произвольном месте на каждом участке отметим поперечное сечение. Рассматривая либо левую, либо правую часть стержня (рис. 59), запишем выражение для продольной силы N на каждом участке.
На участках без распределенной нагрузки усилие N постоянно и не зависит от того,
в каком месте находится рассматриваемое сечение. На участках, где приложена распределенная нагрузка, от расположения сечения зависит, какая часть распределенной нагрузки придется на отсеченную часть стержня.
Другими словами, усилие N будет зависеть от расположения сечения (в данном случае линейно). Чтобы это учесть, расположение сечения будем отмечать переменным расстоянием, которое можно отсчитывать от края рассматриваемой части стержня (z3 ‒
для 3-го участка и z4 ‒ для 4-гоучастка).
При рассмотрении участков 1, 2, 3, 4 будем отбрасывать левую часть стержня. 1 участок. N1=F3= +20 кН (растяжение).
2 участок. N2 = F2+ F3 = 10 +20 =30 кН (растяжение).
3 участок. z3 изменяется от 0м до 3м (область определения N3) .
N3 = F3+ F2– F1- q2– z3 = 10 + 20 - 40 - 5z3= -10 - 5z3
Строим график функции N3 = -10 – 5 z3 (наклонная прямая).
График наклонной прямой обычно строят, подсчитав значения функции при
двух значениях аргумента, то есть, проводя ее через две точки. В данном случае
удобно определять ее значения на границах участка.
При z3 = 0м (правый край участка) N3 = -10-5· 0 = -10 кН; при z3 = 3 м (левый край участка) N3 = -10-5· 3 = -25 кН.
4 участок. 0м ≤ Z4 ≤ 2м (область определения N4)
N4 = F3+ F2– F1– q2· 3 + q1z4=20+10-40-5· 3 + 30- z4= -25 + 30 z4.
При z4 = 0 м N4 = - 25 + 30 · 0 = - 25 кН; при z4 =2 м N4 = - 25 + 30 · 2 = +35 кН.
При рассмотрении 5-го участка легче считать силы, приложенные к левой части стержня.
5 участок. N5 = + R= + 35 кН.
3. Откладываем вычисленные значения продольной силы от горизонтальной оси
(«+» ‒ вверх, «-» ‒ вниз).
На участках с распределенной нагрузкой подсчитанные значения соединяем наклонными линиями, а на остальных усилие N не зависит от zи изображается горизонтальными линиями. Расставляем знаки, делаем штриховку. Убеждаемся в том, что
«скачки» на графике по величине и направлению соответствуют внешним силам. Эпюра построена.
Когда стержень имеет опору только с одной стороны, усилия на участках можно определять, отбрасывая всегда ту часть стержня, к которой приложена неизвестная реакция. В этом случае неизвестная реакция никогда не потребуется для определения усилий, и эпюра может быть построена без определения реакций.
Например, в задаче 2.2 усилие на 5-м участке может быть получено
суммированием правых сил:
N5= F3 + F2– F 1 -q2· 3 + q1· 2 = 20 + 10-40 - 5 ·3 + 30·2 = 35кН.