8777

Анализ формулы для определения нормальных напряжений при прямом изгибе и их эпюра позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при Rt = Rc = R) это условие имеет вид:

расстояние от нейтральной (центральной) оси до наиболее удаленной точки сечения,

взятое по модулю; R – расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Для хрупких материалов, когда расчетные сопротивления материала на растяжение (Rt) и на сжатие (Rc) не равны между собой, т.е. Rt ¹ Rc, условия прочности

для растянутой и сжатой зон записываются отдельно:

нейтральной оси сечения соответственно до наиболее растянутого и сжатого волокна. В

таких случаях в первую очередь с помощью эпюры изгибающих моментов нужно

наибольшее по модулю значение изгибающего момента и берется из эпюры МХ.

Как и для других видов деформации, условия прочности при прямом изгибе позволяют решать три типа задач:

1. Проверочная задача – проверка прочности по нормальным и касательным напряжениям при всех известных данных непосредственно с помощью приведенных формул.

Наибольшие по модулю касательные напряжения τ max будут в тех точках, где

b(y) = const = b наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси, так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше, чем для других частей сечения.

Наибольшие по модулю значения изгибающего момента maxМx и поперечной силы maxQy, берут из соответствующих эпюр.

4. Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки сечения при прямом поперечном изгибе

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

1.Сечение, в котором изгибающий момент Мх - достигает своего максимального по модулю значения, - именно по этому сечению подбирают сечение всей балки;

2.Сечение, в котором поперечная сила Qy, достигает своего максимального по модулю значения;

3.Сечение, в котором и изгибающий момент Мx и поперечная сила Qy достигают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

1.Точка, в которой нормальные напряжения σz, достигают своего максимального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

2.Точка, в которой касательные напряжения τ достигают своего максимального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

3.Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения,

достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа

тавра или двутавра, где ширина резко изменяет свое значение).

Лекция №7

Перемещения в балках при изгибе

В соответствии с требованиями строительных норм и правил ряд строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жёсткость. К

элементам конструкций, рассчитываемых на жёсткость, относятся, в частности, балки.

Прогибы балок, т.е. вертикальные перемещения поперечных сечений, не должны превышать значений, определяемых нормами. Условие жёсткости выражается следующим неравенством:

f ≤ [ f ],

т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба f ) не должен превышать допустимого нормами значения [ f ]. Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы рассчитываемой балки и колеблется в широких пределах. Обычно допускаемую стрелу прогиба указывают в долях пролёта l балки. Например, вертикальный предельный прогиб равен [ f ] = l/ 400.

Для расчёта на жёсткость необходимо уметь определять перемещения поперечных сечений балок. Можно выделить следующие методы расчета балок:

∙метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки;

∙метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки);

Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения

Линейные и угловые перемещения. Основные обозначения

Расчёт балок на прочность может не удовлетворять условиям её нормальной эксплуатации из-за появления в ней значительных деформаций. Поэтому кроме расчёта на прочность необходимо проводить расчёт балки на жёсткость.

От действия внешних нагрузок, расположенных в плоскости одной из главных осей инерции поперечного сечения, балка изгибается в той же плоскости. Нейтральная продольная ось балки, прямая до деформации, переходит в плоскую кривую, которая называется изогнутой осью или упругой линией балки (рис. 46).

Рис. 46

Сделанное ранее допущение о малости перемещений позволяет считать, что линейные перемещения – прогибыv - направлены перпендикуулярно продольной оси недеформированной балки (оси z). Наибольший прогиб называется стрелой прогибаf.

Угловые перемещения представляют собой углы поворотаθ поперечных сечений балки вокруг их нейтральных линий, или углы между направлениями продольной оси балки до и после деформирования. В упругой стадии работы материала углы поворота настолько малы, что мож но считать θ ≈tg θ. А так как согласно геометрическому смыслу производной tgθ = dv/dz , то с достаточной степенью точности угол поворота сечения можно принять равным первой производной от прогиба по абсциссе сечения:

θ(z)≈dv/dz.

Линейные и угловые перемещения сечений балки являются геометрическими характеристиками, поэтому их знак зависит от выбранной при решении задачи системы координат. На рис. 47 по казаны положительные и отрицательные перемещения сечений балок для возможных систем координат.

Рис. 47

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его решение

Для определения прогибов в любом сечении балки необходимо найти аналитическое выражение уравнения изогнутой оси v = v(z). Определяется оно с использованием зависимости между кривизной изогнутой оси и изгибающим моментом:

С учетом малости углов поворота дифференциальное уравнение изогнутой оси

принимает упрощенный вид:

d 2v = ± M x . dz2 EJ x

Выбор знака в уравнении зависит от принятой системы координат.

Рис. 48

При положительном направлении оси у вверх (рис. 48) знаки изгибающего момента и кривизны изогнутой оси балки совпадают. В этом случае в уравнении следует сохранить знак «плюс».

При положительном направлении оси у вниз (рис. 48) знаки изгибающего момента и кривизны изогнутой оси балки разные. В этом случае в уравнении следует сохранить знак «минус».

Для балки постоянного сечения уравнение удобнее записывать в виде

EJ x v′′( z ) = ± M x ( z ).

Перед решением полученных дифференциальных уравнений необходимо изгибающие моменты в балке Мх представить аналитической функцией от координаты z.

Интегрируя уравнение один раз получим уравнение угла поворота поперечных сечений балки:

EJ xθ ( z ) = EJ x v′( z ) = ± ∫ M x ( z ) dz + C ,

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Второе интегрирование даёт уравнение прогибов балки:

где D – вторая произвольная постоянная интегрирования.

EJ x v ( z ) = ± ∫ dz∫ M x ( z ) dz + Cz + D ,

Если балка имеет n участков, то дифференциальные уравнения и необходимо составлять для каждого участка балки. Для вычисления перемещений требуется составить

nвыражений изгибающего момента, дважды проинтегрировать nдифференциальных уравнений и определить 2n постоянных интегрирования.

Следовательно, для определения 2nпостоянных интегрирования необходимо иметь

2nусловий для их нахождения, которые называются граничными условиями.

Граничными условиями являются следующие условия:

Рис. 49

1) Условия закрепления балки, т.е. условия опирания балки - 2 условия (рис. 49).

2). Условие плавности изогнутой оси балки на границе участков – ( n-1) условие (рис. 49). 3). Условие непрерывности изогнутой оси на границе участков – ( n-1) условие (рис. 49).

На границе смежных участков балки прогиб и угол поворота одинаковы как для левого, так и правого участка, т.е. перемещение, полученное из уравнения (i-1) участка,

равно перемещению, найденному из уравнения для (i) участка.

Таким образом, в сумме условия закрепления балки и условия плавности и непрерывности изогнутой оси на границе участков составляют 2nусловий, которые позволяют найти 2nпостоянных интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки оказывается весьма трудоёмким уже при числе участков n≥ 3,

поскольку необходимо выполнить большой объём вычислительной работы, связанной с определением произвольных постоянных интегрирования.

Пример решения балок методом непосредственного интегрирования по участкам

Пример 1. Для заданной деревянной консоли (рис. 51) подобрать размеры

прямоугольного сечения hи b.

Расчётные характеристики балки следующие: [ σ ] = 12 МПа, [ τ ] = 2 МПа, Е = 104 МПа.

Длина балки l= 1 м.

Допускаемый прогиб [ f ] = l / 200 = 1000 мм / 200 = 5 мм.

Ось у направляем вниз.

EJxv// = - (-10 + 20 z –10 z 2),

EJxθ = +10 z -10 z2 + 10/3 z3 + C,

EJxv = +5 z2 - 10/3 z3 + 10/12 z4 + Cz + D.

6. Условия закрепления балки.

При z = 0: θ(0) = 0. Отсюда находим С = 0, При z = 0: v(0) = 0. Отсюда находим D = 0.

7. Для углов поворота и прогибов окончательно имеем следующие выражения:

EJxθ (z) = +10 z -10 z2 + 10/3 z3.

EJxv(z) = +5 z2 - 10/3 z3 + 10/12 z4.

8. Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки (рис. 51).

9. Условие жёсткости балки: мaxv = f = 2,56 мм < [ f ] = 5 мм.

Таким образом, прочность и жёсткость балки обеспечены при b = 11 см, h = 22 см.

Рис. 51