8777

· (для правой части стержня).

Соответственно, нагрузка, направленная «к сечению», будет вызывать

отрицательное усилие N.

б) Усилие поперечнаясила.

На рис. 24 показан рассеченный стержень с положительно направленным усилием . Неизвестное усилие должно находиться из уравнения ∑Y = 0,

составленного для одной из частей стержня. Чтобы и нагрузка уравновесили друг друга, они должны быть направлены в разные стороны. Из рис.24 видно, что внешние силы, вызывающие положительную поперечную силу, стремятся повернуть отсе-

ченную часть стержня “ по часовой стрелке» относительно оси х, проходящей через сечение.

То есть

· (для левой части стержня),

· (для правой части стержня).

Соответственно, нагрузка, направленная «против часовой стрелки» будет вызывать отрицательное усилие .

в) Усилие (изгибающий момент).

На рис.4 показан рассеченный стержень с положительным усилием .

правой частей стержня. Из рис. 25 видно, что, если усилие направлено против

часовой стрелки, то уравновешивающая его нагрузка должна давать относительно х мо-

мент по часовой стрелке (и наоборот). То есть, другими словами, внешние силы вызывают положительный изгибающий момент, если стремятся изогнуть часть стержня выпуклостью вниз (вызвать растяжение в нижних волокнах стержня). Тогда

· " · · # (для левой части стержня),

· " · · # (для правой части стержня).

Соответственно, нагрузка, направленная иначе, чем на рис. 25, будет вызывать отрицательное усилие .

Нагрузка в виде сосредоточенного момента никогда не входит в выражения для усилий N и , поскольку не входит в уравнения для их определения ∑Y = 0, ∑Z = 0. На любую ось момент, представляющий собой пару разнонаправленных равных сил (рис. 25), всегда проектируется в нуль.

1.5 Связьвнутреннихивнешних сил

Из уравнения ∑Z = 0, записанного для одной из частей стержня, следует, что продольная сила N равна отрицательной сумме проекций на ось z всех сил,

приложенных к левой части стержня, или положительной сумме проекций на ось z всех сил, приложенных к правой части стержня.

Обозначая проекции внешних сил как $ , запишем

%∑лев.$ ∑прав.$

Из уравнения ∑у = 0, записанного для одной из частей стержня, следует, что поперечная сила равна отрицательной сумме проекций на ось у всех сил,

приложенных к левой части стержня, или положительной сумме проекций на ось y всех

(проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения) всех сил, приложенных к левой части стержня или положительной сумме моментов относительно оси х всех сил,

приложенных к правой части стержня.

Положительные значения функций N ( z ) , откладываются вверх. Положительные значения изгибающего момента по традиции откладываются вниз.

2. ПОСТРОЕНИЕЭПЮРПРОДОЛЬНЫХ СИЛПРИЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ

Центральным растяжением-сжатием (ЦРС) называется вид сопротивления,

при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно ‒ продольная сила N.

Из дифференциальной зависимости следует, чтоприотсутствиина участке стержня распределенной продольной нагрузки( 0), продольное усилие Nпостоянно

N(z)=const (рис. 26).

Если на участке приложена постоянная распределенная нагрузка qz(z) = const, из

(1.4) следует, что N(z) изменяется по линейному закону (рис. 26) .

Рис. 26

Кроме того, из (1.4) следует, что если нагрузкаqzположительна (направлена вправо),

то на участке наблюдается уменьшение усилия N. Если qzотрицательна (направлена влево) - усилие N увеличивается. Причем изменение усилия N равняется (как это следует из 1.1)

равнодействующей распределенной нагрузки qz. В сечении, в котором действует сосредоточенная продольная нагрузка F, имеет место скачкообразное изменение про-

дольного усилия N («скачок»). Это вытекает из зависимости 5. Изменение усилия N равно величине внешней силы F.

При положительной нагрузке F усилие N равно величине внешней силы F (направленной вправо), усилие N уменьшается на величину F.

При отрицательной (направленной влево) - увеличивается на величину F (рис. 27).

Рис. 27

2.1«Аналитический» способ построения эпюр

1.Определяются опорные реакции, если это необходимо.

2.Стержень разбивается на участки. Границами участков являются:

а) края стержня,

б) точки приложения сосредоточенных сил и моментов (включая реакции),

в) границы распределенных нагрузок.

Участки нумеруются последовательно слева направо, а в консольных стержнях - по направлению к заделке.

3. На каждом из участков произвольно выбирается сечение. Его положение задается переменным расстоянием zi (где i- номер участка). Это расстояние отсчитывается обычно от левого или от правого краев стержня.

4. На каждом i-м участке записываются аналитические выражения для усилий,

показывающие, как усилия зависят от расстояния zi. Усилия при этом выражаются через нагрузку, приложенную либо к левой, либо к правой частям стержня (в зависимости от точки отсчета zi).

5. Полученные функции изображаются графически, для чего сначала подсчитываются их значения в ряде сечений. Графики усилий (эпюры) строятся на осях,

параллельных оси стержня, и штрихуются вертикальной штриховкой. Символами + и -

отмечаются знаки усилий. Вычисленные значения наносятся на чертеж. Описанный способ построения эпюр называется «аналитическим».

3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ

Кручением называется вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно - крутящий момент Mz (Mк).

Задача 3.1. Построить эпюру крутящего момента Mz для стержня. Для экономии места

сам стержень и построения, выполненные в процессе решения, показываются на одном

рисунке (рис. 28).

Решение

Стержень загружен только моментами, действующими относительно оси z.

Поэтому в пространственной заделке А из шести возможных реакций не равна нулю только одна ‒ реактивный момент MA.

Найдем его из уравнения ∑ mz= 0.

MА =M1 -M2 -M3 +m·1,2=0

MА =M1 -M2 +M3 -m·1,2=8-5+7-5·1,2=4кНм.

Новым в данной задаче является наличие распределенной моментной нагрузки m=5

кНм/м, что означает, что на каждый метр длины участка действует распределенный момент 5 кНм.

На участок длиной l=1,2 м в этом случае будет действовать равнодействующий момент М = m·l =5·1,2 = 6 кНм.

Поочередно рассекая каждый участок, будем, отбрасывая правую часть стержня,

записывать уравнение равновесия для левой: ∑ mz=0 , из которого будем определять величину крутящего момента Mz. Его первоначальное направление будем считать на всех участках положительным

1-й участок

MА+Mz=0; Mz=МА= -4 кНм = const.

Проводим горизонтальную прямую.

2-й участок

На участке приложен распределенный момент m, поэтому значение усилия Mz

будет зависеть от расположения сечения. Рассматриваемое сечение свяжем с переменным расстоянием от края участка (можно от края стержня) z2, который изменяется в пределах от 0 (левый край участка) до 1,2 (правый край).

Итак , 0≤z2≤1,2м

Mz =-MA –M 1 +m· z2=0

Mz =-MA –M 1 +m ·z2=-4+8-5 z2=4-5 z2.

Строим прямую по двум точкам:

при z2 =0 Mz=4-5·0= 4 кНм,

при z2 =1,2 Mz=4-5· 1,2 =-2 кНм.

3-й участок

Mz +MA –M 1 +M2 +m·1,2=0 , откуда

4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ В БАЛКАХ ПРИ ИЗГИБЕ

Балкой называется брус или стержень, работающий преимущественно на изгиб. При этом нагрузки, действующие на балку, направлены перпендикулярно к оси стержня.

Если изгиб происходит в двух главных плоскостях (плоскостях, проходящих через главные центральные оси и ось z), то такой изгиб называют сложным.

Частный случай сложного изгиба, при котором нагрузка в вертикальной плоскости подобна (отличается множителем) нагрузке, приложенной в горизонтальной плоскости, называется косым изгибом.

При сложном и косом изгибах в сечениях стержня возникают поперечные силы

Qх, Qу и изгибающие моменты Мx, My.

Если вся нагрузка, действующая на балку, приложена в вертикальной (или горизонтальной) плоскости, в сечениях возникает только два усилия: поперечная сила

Qх и изгибающий момент Мy(или соответственно Qх и Мy ). Это прямой поперечный изгиб.

Рассмотрим подробное построение эпюр Qyи Мx при прямом поперечном изгибе.

При построении эпюр будем использовать правило знаков, а также зависимости Журавского и выражение усилий через нагрузку.

Эпюры усилий в простейших балках

Очень часто в конструкциях встречаются балки, имеющие простую расчетную схему и нагрузку. Характер усилий для ряда таких балок грамотный инженер должен помнить наизусть. Эти балки вместе с эпюрами Qy и Mx приведены на рис. 29 – 34.

Лекция №4

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ– СЖАТИЕ

1. Напряжение в поперечных сечениях стержня

Нормальная сила N приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:

, -)..

Считается, что при ЦРС нормальное напряжение в любом сечении стержня постоянно, то есть поперечные сечения перемещаются параллельно друг другу, а все поверхностные и внутренние продольные волокна удлинятся одинаково, что соответствуетгипотезе плоских сечений( гипотезе Бернулли) , после интегрирования получаем:

σ = N / A,

где A − площадь поперечного сечения стержня.

В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно.

По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются, и

в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом СенВенана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой.