8777

Лекция №8

Метод начальных параметров

Основные положения метода

Существует метод: метод начальных параметров, который позволяет свести решение к определению всего двух постоянных интегрирования. Для этого необходимо при решении использовать приём, который сводится к следующим правилам:

∙При решении задачи использовать единую (глобальную) систему координат для всех участков балки. Начало координат необходимо помещать на левом или правом конце балки.

∙Жесткость всех участков балки должна быть одинаковой и постоянной – EJx = const.

∙Прогиб и угол поворота в начале координат обозначим vo и θо, которые называются геометрическими или кинематическими начальными параметрами.

∙Изгибающий момент и поперечную силу в начале координат обозначим Mo и Qо,

которые называются статическими начальными параметрами.

∙При составлении выражения изгибающего момента для нагрузки от сосредоточенных моментов необходимо использовать следующую форму записи:

M = M(z-a)o.

∙Если распределённая нагрузка обрывается в сечении, расположенном левее сечения с абсциссой z(ось z направлена вправо), необходимо нагрузку продолжить до конца балки и одновременно приложить на этой части балки такую же нагрузку,

но противоположного направления (рис. 52).

∙При интегрировании двучленов вида (z-a)kследует пользоваться следующей формулой:

EJxv3′′ (z) = ± Mx(3) (z) = ± Mo +Qo z + M (z − a)o + F (z − b) .

4-й участок. c ≤ z≤ l:

Изогнутая ось балки есть плавная кривая. На границах участков балки значения углов поворота и прогибов, вычисленных из уравнений соседних участков, будут равны.

Эти равенства называются условиями плавности и непрерывности изогнутой оси на

границе участков.

Рассмотрим эти условия, используя полученные для балки выражения.

Из полученного решения следует, что, используя при решении правила, изложенные

в пункте 2.1, постоянные интегрирования всех участков балки всегда будут равны и могут быть заменены фактически двумя постоянными интегрирования независимо от количества участков балки:

С1 = С2 = С3 = С4 = ….. = С. D1 = D2 = D3 = D4 = ….. = D.

С учётом введённых обозначений угла поворота и прогиба в начале координат из

равенств (2.3) при z= 0 получим следующие выражения постоянных интегрирования С и

D:

C = EJxθo, D = EJxvo,

т.е. постоянная интегрирования С есть угол поворота в начале координат, а D – прогиб в начале координат, умноженные на жёсткость балки при изгибе.

Из формул следует, что выражения моментов, углов поворота и прогибов предыдущих участков входят как составная часть выражений для последнего (4-го )

участка балки. Это позволяет результаты решения для всех участков объединить и записать формулы для углов поворота и прогибов в виде единого выражения для всех участков, используя следующий приём:

Применяя правило, из формулы для погибов 4-го участка при z<a получим выражение прогиба 1-го участка, при z<b получим выражение прогиба 2-го участка, при z<cполучим выражение прогиба 3-го участка.

Таким образом, для уравнения прогибов балки с учётом можно записать обобщённое уравнение прогибов в виде:

Уравнение является универсальным уравнениемпрогибов балки, поскольку может быть использовано для определения прогибов для балки с любым числом участков.

Определение прогибов балок с помощью универсального уравнения требует выполнения следующих правил.

1.Уравнение применимо для решения балок только с постоянной жёсткостью EJx = const.

2.Начало координат необходимо помещать либо на левом конце балки, либо на правом конце балки.

3.Знак «плюс» перед квадратными скобками следует выбирать, если ось у направить вверх, а знак «минус», если ось у направить вниз.

4.Прогиб балки всегда выражается через четыре начальных параметра: два статических

Мо, Qo и два геометрических vo, θo, поэтому метод называется методом начальных параметров.

5.Неизвестный прогиб vo и угол поворота θo в начале координат необходимо определять из условий закрепления балки .В частности:

6.При использовании универсального уравнения условия плавности и непрерывности на границах участков балки выполняются автоматически.

7.Знак слагаемых, стоящих в квадратных скобках, определяют по правилу знаков для изгибающих моментов. В частности:

∙если силы F и нагрузки q направлены вверх, то изгибающие моменты от такой нагрузки будут положительными независимо от выбора положения начала координат;

∙если силы F и нагрузки q направлены вниз, то изгибающие моменты от такой нагрузки будут все гда отрицательными;

∙изгибающие моменты от моментной нагрузки будут положительными, если сосредоточенные моменты Мдействуют по часовой стрелке при размещении начала координат на левом конце балки;

∙при размещении начала координат на правом конце балки сосредоточенный момент М необходимо вводить в уравнение со знаком «плюс», если он действует против часовой стрелки.

8.Универсальное уравнение углов поворота сечений балки получается из уравнения путём его дифференцирования: EJxθ(z) = EJxv′ (z).

Лекция №9

О ценка прочности при ударной нагр узке.

Вид формул, полученных для динамического коэффициен та, показывает, какие

большие качественные различия ведет за собой количественное изменение периода действия силы на тело.

Рассмотрим некоторые случаи удара при простейших дефор мациях. При этом для нахождения коэффициента динамичности применим основные полученные формулы для

В случае продольног о растягивающего или сжимающего удара (Рис. 54)

Рис. 54. Модель продольного удара.

Для вычисления ди намического коэффициента может б ыть выбрано одно из следующих выражений:

После этого без затруднений вычисляются , и .

Приближенная форм ула для вычисления напряжений в данном частном случае получает такой вид:

и

Замечаем, что как пр и статической, так и при динамической нагрузке напряжение в сжатом стержне зависи т от величины сжимающей силы и от площади поперечного сечения стержня.

Но при статическом действии груза Q передающаяся на стер жень сила равна Q и не зависит от размеров и материала стержня, при ударе же величина силы , вызывающей напряжения в стержне, зависит от ускорения, передающегося от ударяемого тела на ударяющее, т. е. от величины промежутка времени, в течение которого изменяется скорость ударяющего тела. В свою очередь этот промежуток времени зависит от величины динамической продольной деформации , от податливости стержня. Чем эта величина больше, т. е. ч ем меньше модуль Е и чем больше длина стержня l, тем больше продолжительность удар а, меньше ускорение и меньше давление .

Таким образом, при равномерном распределении напряжений, одинаковом во всех сечениях стержня, динамическое напряжение будет уменьшаться с увеличением площади поперечного сечения сте ржня и с увеличением его податливости (т. е. с увеличением длины и уменьшением модуля упругости Е); именно поэтому смягчают удар всякие рессоры и пружины, расп оложенные между ударяющимися деталями. Все это и отражают приведенные выше форм улы. В частности, с известным прибли жением можно считать,

что при продольном удар е величина напряжений зависит уже не от площади, а от объема стержня.

Вычислив величину динамического напряжения, мы можем теперь написать условие прочности в виде

где [ ]— допускае мая величина нормальных напряжений при ударе, равная для

выбрать равной величине основного коэффициента запаса при статическом действии нагрузок, так как динамичность нагрузки уже отражена. Одн ако, ввиду некоторой упрощенности изложенного метода расчета, этот коэффициент принимают несколько повышенным — до 2. К роме того, обычно в этих случаях при меняют материал более высокого качества (в отношении однородности и пластических свойств).

При изгибе величина статической деформации , представляющей собой статический прогиб балк и с в месте удара, зависит от схемы нагружения и условий опирания балки.

Так например, для балки пролетом l, шарнирно закрепленной по концам и испытывающей посредине пролета удар от падающего с высоты Н груза Q (Рис.55, а),

а) двухопорная балка, б) консольная Рис.55. Модели удара:

получаем:

для консоли, испытывающей удар от груза Q, падающего на свободный конец консоли

(Рис 55, б):

например, в случае балки на двух опорах при вычислении динамического напряжения

имеем такую формулу:

Условие прочности в этом случае напишется:

Приближенные форм улы для вычисления и в сл учае удара по балке на

двух опорах получают такой вид:

Из последней приближенной формулы видно, что динамические напряжения при изгибе балки зависят от модуля упругости материала, объ ема балки, формы ее

поперечного сечения (отн ошение ), а также от схемы нагружения и условий опирания

балки (в данном случае в подкоренном выражении стоит ; для балок, иначе загруженных и закреплен ных, числовой коэффициент у будет другим). Таким образом,

в балке прямоугольного сечения высотой h и шириной b, пост авленной на ребро или

и

так как

и

Имея в виду, что живая сила маховика T0 равна

где — момент инерции массы маховика, а — угловая скорость, можем написать:

Замечаем, что и при скручивающем ударе наибольшие напряжения зависят от модуля упругости и от объема вала.