8777

Практика №3

Задача 4.1. Построить эпюры усилий Qy и Мх для балки, изображенной на рис. 60,

аналитическим способом.

рассматривая равновесие правой или левой частей балки.

4. Эпюры Qy и Мх построены.

В рассмотренной задаче на балку воздействовали сосредоточенные нагрузки. В

следующей задаче демонстрируются основные приемы работы с равномерно-распреде-

ленными нагрузками.

Задача 4.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки,

изображенной на рис. 61.

Рис. 61

Решение

В данной балке можно построить эпюры, не определяя опорных реакций, если на всех участках выражения для Qy и Мх составлять, используя нагрузки, расположенные справа от сечения, а левую часть стержня (вместе с неизвестными реакциями)

отбрасывать.

Пронумеруем участки (по направлению). На каждом покажем произвольное

сечение, привязав его к правому краю балки.

Записываем аналитические выражения для Qy и Мх. Полученные функции

Выпуклость параболы – вниз.

Касательная к ней горизонтальна в сечении, где Qy = 0, то есть на краю балки.

При вычислении значений усилий необходимо указывать сечения, для которых

Наклон графика Qy(z) одинаков на 1-м и 2-м участках.

Наклонная прямая Qy( Y) имеет уклон в другую сторону и расположена круче, чем на 1-м и 2-м участках, поскольку тангенс угла ее наклона равен нагрузке q2, которая имеет другой знак и больше по величине, чем q1.

% 1 · 4 · Y % 2 % ‚]· kwt ]

=

10 % 2 · 4 · Y % 2 % t· kwt ] 2 % 24 Y 58

= Y ;

• k€t 2 · 4 % 24 · 4 58 %6 кНм ;• k€† 2 · 7 % 24 · 7 58 %12 кНм .

На стыке 2-го и 3-го участков к балке не приложены сосредоточенные силы и моменты. Поэтому в данном сечении эпюра Мх не имеет разрыва и излома, то есть гладкая. Квадратная парабола выпуклостью вверх и имеет экстремум в том сечении, где эпюра Qyпересекает ось (Qy= 0). Для построения параболы в данном случае следует третье значение считать не в середине участка (как на участке 2), а в месте экстремума.

Экстремальные значения усилий принято вычислять, поскольку часто они являются наибольшими и определяют положение опасного сечения.

Для того чтобы найти экстремум квадратной функции . 5 1 на некотором участке, следует сначала найти его расположение, то есть положение

Экстремальное значение равно:

• k€uм 2 · 6 % 24 · 6 58 %14 кНм.

Проводим квадратную параболу через три точки.

Эпюры Qyи Мх построены.

Практика №4

Пример 1. Определить нормальное напряжение при изгибе балки (в МПа) в точке

А поперечного сечения, удаленной от нейтральной линии сечения на 15 см (рис. 62), если изгибающий момент M= 10 кНм = 1000 кНсм.

Рис. 62

Решение.

1. Определяем момент инерции сечения относительно оси z:

U#SY 18 · 36Y 69984 смt.

12 12

2. Подставляем значения изгибающего момента, осевого момента инерции и координаты точки А в формулу для нормальных напряжений и находим напряжения:

σА = 12 = 0,17 кН/см2 = 1,7 МПа

Таким образом, в т очке А поперечного сечения балки действ ует нормальное напряжение σA=1,7 МПа.

Пример 2.

В качестве примера применения формулы Журавского пост роим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки.

Учитывая, что для этого сечения

получаем

где F=bh- площадь прямоугольника.

Как видно из форм улы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратической п араболы, достигая максимума на нейтральной оси

Рис. 63

В круглом сечен ии (рис. 63) эпюра касательных напряже ний ограничена кривой,

имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статический момент полукруга и момент инерции круга

n‡=e ˆ)8 · 2)3ˆ 12)Y ; : ˆ)64t,

получаем

m=> 163 · ˆ) 43 ·

Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на 33%

больше средних напряжений m / , по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 64), имеем n‡=e # 36 · Š2S3 % 6‹ · ŠS3 6‹ ;

: #S36Y,

m 12#SY · Š2S3 % 6‹ · ŠS3 6‹ ; m=> 32 ·

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии y=h/6 от нейтральной линии, то есть в точках средней линии треугольника.

При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по

следующей формуле:

m · n‡=e, : · Œ

где δ - толщина стенки тонкостенного профиля.

Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться только в случае прямого изгиба.

Определить касательные напряжения в указанных точках двутаврового сечения и построить эпюру касательных напряжений при величине поперечной силы Q=50 кН

(рис.64).

Рис. 64

Решение.

Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая ее величина.

Покажем, как определяется статический момент площади для любой произвольной точки сечения двутавра. Для этого рассмотрим произвольную точку К. Проведем через эту точку линию, параллельную оси Oz. Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихованой на рис. 65) может быть найден как сумма статических

моментов двух площадей A1 и A2

nотс . 6 . 6 .

Рис. 65

Наибольшей величины статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной линии сечения Oz достигает для половины сечения.

Следовательно, максимальные касательные напряжения возникают в волокнах нейтрального слоя.

Точка №1 сечения принадлежит наиболее отдаленному волокну. Точки №2 и №3

лежат в месте перехода от полки к стенке: точка №2 принадлежит полке, точка №3 –

стенке сечения. Точка №4 лежит в центре тяжести сечения и принадлежит нейтральной линии сечения. Сечение симметрично расположено по отношению к оси Oz. Поэтому напряжение в точке №5 будет таким же, как в точке №3, напряжение в точке №6 – таким же, что и в точке №2, напряжение в точке №7 – таким же, что и в точке №1.

Вначале найдем момент инерции сечения относительно оси Oz:

U 2 •1012· 23 112 · 2 · 10Ž 1,212· 203 5653,33 см4.

Касательное напряжение в точке №1 поперечного сечения равно нулю, так как отсеченная часть сечения в данном случае представляет собой пространство над сечением,

и ввиду отсутствия отсеченной площади, статический момент этой площади равен нулю.

С другой стороны, если в качестве отсеченной площади рассматривать все сечение, то статический момент всей площади относительно нейтральной линии сечения z , как центральной оси, равен нулю.

Для определения касательного напряжения в точке №2 проводим через точку №2

линию, параллельную оси Oz. Отсеченная площадь лежит выше этой линии и составляет

.отс2 =2·10=20см2. Вычисляем расстояние от центра тяжести отсеченной площади до оси Oz.

Оно равно 11см. Находим касательные напряжения в точке №2:

При определении касательного напряжения в точке №3 следует помнить, что статический момент площади отсеченной части в этом случае остается прежним, так как точки №2 и №3 находятся на одинаковом расстоянии от оси Oz. Только точка №2

принадлежит полке, а точка №3 принадлежит стенке двутавра. В связи с этим касательное напряжение в точке №3 будет равно:

Для определения напряжения в точке №4, проведем через эту точку линию,

совпадающую с осью Oz. Отсеченная площадь представляет собой тавр. Статический момент площади тавра вычислим, используя выражение (а), приведенное выше. В нем A1

представляет собой площадь полки, A2− площадь половины стенки; y1− расстояние от центра тяжести полки до оси Oz; y2− расстояние от центра тяжести половины площади стенки до оси Oz. Касательные напряжения в точке №4 будут равны:

Как уже отмечалось выше, в силу симметрии τ5=τ3=16,21 МПа, τ6=τ2=1,95 МПа;

τ7=τ1=0.

Откладываем найденные значения касательных напряжений от базисной линии и строим эпюру касательных напряжений (рис. 65).

Практика №5

Пример 1.. Подобрать сечение стальной балки из прокатного двутавра.

Расчётные характеристики балки: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2٠105МПа.

Длина пролёта балки l= 6 м. Допускаемый прогиб [ f ] = l/ 400 = 6000 мм/ 400 = 15 мм.

1. Определяем размеры прокатного двутавра из условия прочности балки на изгиб.

Из таблицы 1. Сталь горячекатанная. Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72*) находим следующий номер профиля:

Двутавр №30а: Wx = 518 см3, Jx = 7780 см4, S*x = 292 см3, d = 0,65 см.

2. Выполняем проверку балки на срез.

=23 МПа << [τ ] = 100 МПа.

3.Определяем жёсткость балки при изгибе.

EJx = 2٠104кН/см2× 7780 см4 = 15560 ٠104кНсм2 = 15560 кНм2.

4. Балка имеет 2 участка.

Составляем дифференциальное уравнение для каждого участка и дважды интегрируем.

Начало координат помещаем на левом конце балки. Ось у направляем вниз.