8777

Внешние воздействия вызывают деформацию тела. В каждой точке тела возникает

внутренняя сила сопротивления (реакция) внешнему воздействию. Внутренние силы

можно рассматривать как реакции внутренних связей, обеспечивающих

целостность тела при его деформировании.

При изменении нагрузки будут меняться и внутренние силы, т. е. значение введённых внутренних сил зависит от внешних воздействий. При возрастании внешних сил увеличиваются и внутренние силы, но лишь до определённого предела, при превышении которого наступает разрушение. Это предельное значение внутренних сил зависит от физико-

механических свойств материала данного тела.

Из введённого понятия внутренних сил следует, что внутренние силы определяются через внешние и что их величина ограничена свойствами материала тела. Таким образом, для расчёта на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам.

Поскольку внутренние силы можно рассматривать как реакции внутренних связей тела,

то для их определения можно использовать законы теоретической механики и в частности

аксиому связей, которая гласит: равновесие тела сохраниться, если действие связей заменить их реакциями. Отсюда вытекает метод определения внутренних сил, который называется

методом сечений. Рассмотрим суть этого метода.

Пусть некоторое тело, находится в равновесии под действием заданных внешних сил

(рис. 4а). Напоминаем, что в число внешних сил F1,…, F7 входят как заданные активные силы,

так и реакции связей, закрепляющих тело в пространстве.

Разрежем мысленно тело на две части некоторой произвольной плоскостью. Одну из частей (например, II) мысленно удаляем (отбрасываем) и рассматриваем оставленную часть I (рис. 4б). В каждой точке полученного сечения (разреза) необходимо приложить силы,

которые для целого тела есть внутренние силы и которые являются силами взаимодействия между частями I и II тела. Закон распределения этих сил по сечению неизвестен, но, как

любую систему сил, их можно заменить главным вектором R и главным моментом М (рис. 4в). Показанные в сечении силы заменяют действие отброшенной части II на оставленную часть I и являются для части I внешними силами.

Таким образом, применяя метод сечений, переводят силы, являющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной из его частей.

Внешние силы F1, F2, F3, действующие на рассматриваемую часть I, и силы в сечении (рис. 4б,в) должны находиться в равновесии. Поэтому, составляя к отсечённой части тела (рис. 4в)

уравнения равновесия, можно выразить искомые внутренние силовые факторы R и М через заданные внешние силы (нагрузку).

Мы рассмотрели равновесие части I тела. Принципиально совершенно безразлично,

какую из частей тела (I или II) отбросить, так как из третьего закона Ньютона следует, что силы, действующие от части II на часть I, равны по модулю и противоположны по направлению силам действия части I на часть II. Практически удобно оставлять ту часть, к

которой приложено меньше сил, так как уравнения для неё будут иметь более простой вид.

Внутренние силы в поперечном сечении бруса.

Рассмотрим определение внутренних сил в поперечном сечении бруса. Для этого сформулируем основные положения метода сечений:

1.разрезаем брус в интересующем месте плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, на две части;

2.отбрасываем мысленно одну из образовавшихся частей (обычно ту, к которой приложено больше сил), в результате чего нарушается равновесие оставшейся части;

3.заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть бруса внутренними силами;

4.составляем уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части, из которых находим значения искомых внутренних сил через заданные внешние силы.

Систему координат для бруса выбираем следующим образом:

∙ось z – продольная ось бруса, проходящая через центры тяжести поперечных сечений его;

∙оси х и у – главные, центральные оси инерции поперечного сечения бруса, в

частности, это оси симметрии.

Пусть задан прямой брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних сил (рис. 5а). Рассечём его на две части некоторой произвольной плоскостью, перпендикулярной к продольной оси z.

Одну из двух частей, например, правую отбрасываем, а в поперечном сечении оставшейся левой части прикладываем внутренние силы, которые заменяем статически эквивалентной системой сил – главным вектором R и главным моментом М, приведённым к центру тяжести сечения (рис. 5б).

Каждый из этих двух векторов раскладываем на составляющие по осям координат (рис.

6):

Qx, Qy, N - проекции главного вектора внутренних сил R на оси x, y, z. Mx, My, Mz - проекции главного момента внутренних сил М на оси x, y, z.

R = (N2 + Q2x + Q2y )

M = (M2x +M2y +M2z )

Полученные компоненты главного вектора и главного момента называются

внутреннимисиловымифакторами или усилиями.

Указанные шесть внутренних силовых факторов имеют следующие наименования: N –

продольная или нормальная сила,

Qx, Qy – поперечные силы в направлении соответствующих осей,

Mx, My – изгибающие моменты относительно соответствующих осей,

Mz- крутящий момент.

Для определения каждого внутреннего силового фактора надо составить

соответствующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть

бруса (рис. 6). Как известно, для пространственной системы сил таких уравнений может быть

составлено шесть и в каждое из них войдёт лишь один внутренний силовой фактор, который и

будет определён из этого уравнения.

Σx = 0: Qx + ΣFix = 0, Qx = - ΣFix .

Σy = 0: Qy + ΣFiy = 0, Qy = - ΣFiy .

Σz = 0: N + ΣFiz = 0, N = - ΣFiz .

На основании полученных уравнений можно сформулировать правила для определения

внутренних сил в поперечном сечении бруса.

Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось бруса z всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Поперечные силы Qx и Qy в произвольном поперечном сечении бруса численно равны алгебраической сумме проекций на оси поперечного сечения бруса х и у всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающие моменты Мx и Мyв произвольном поперечном сечении бруса численно равны алгебраической сумме моментов относительно осей поперечного сечения бруса х и у всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент Мzв произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов относительно продольной оси бруса z всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних сил на плоскости y0z:

Усилие N> 0, если вызывает растяжение в поперечном сечении стержня (направлено «от сечения» и в левой и в правой его частях).

Усилие > 0, если (совместно с внешней нагрузкой) стремится повернуть отсеченную часть стержня по часовой стрелке.

Усилие > 0, если вызывает растяжение в нижних волокнах стержня.

Усилие Мz> 0, если действует против часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали.

Напряжения. Связь между напряжениями и внутренними силами в поперечном сечении бруса.

Внутренние силы, как уже указывалось, распределены по сечению тела (в частности,

бруса) сплошным образом, при этом в общем случае их значение и направление в отдельных точках сечения различны. Для суждения об интенсивности внутренних сил в определённой точке данного сечения вводится понятие о напряжении.

внутренняя сила, равная 1Н. Но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица – мегапаскаль, 1 МПа = 106 Па.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну – направленную по нормали к сечению, вторую – лежащую в плоскости сечения (рис. 7б). Составляющую полного напряжения, направленную по нормали к площадке её действия, называют

нормальным напряжением и обозначают σ(сигма), а составляющую, лежащую в плоскости

какой оси действует данное напряжение. Обычно у нормального напряжения принято писать лишь один индекс.

Зависимость между полным напряжением и тремя его составляющими выражается

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси,

получим элементарные моменты внутренних сил: dMx = dN· y = (σzdA) · y;

dMy = dN· x = (σzdA) · x;

dMz = dQy· x - dQx · y = (τzydA) · x -(τzxdA) · y.

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получим выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

Таким образом, задача сопротивления материалов об определении напряжений,

возникающих в поперечных сечениях бруса при различных видах его нагружения, состоит в следующем: с помощью метода сечений определяем внутренние силовые факторы, а

затем из полученных формул находим напряжения.

Понятие о деформациях.

Под действием нагрузки тело деформируется, т.е. его формы и размеры изменяются.

Деформация состоит из двух частей: упругой, обратимой деформации, которая исчезает после удаления нагрузки, и неупругой, остаточной деформации, которая не исчезает после удаления нагрузки. Неупругая деформация, которая не сопровождается разрушением,

называется пластической деформацией.

Деформации тела могут развиваться с течением времени при неизменной нагрузке.

Такие деформации называются деформациями ползучести.

Термин «деформация» употребляют в сопротивлении материалов в двояком смысле: в

первом - под деформацией подразумевают изменение формы и размеров тела, во втором – под деформацией рассматривают изменение длин и углов в окрестности точки тела. Рассмотрим такие деформации.

Изменение первоначально прямого угла между отрезками ab и ac после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформациюγху в

точке а в плоскости ху. Аналогично, γyz и γzх представляют собой угловые деформации в плоскостях yz и zx.

Деформации тела в каждой его точке по любым направлениям могут быть определены,

если известны линейные εx, εy, εz и угловые γху, γyz,γzх деформации. Линейные и угловые деформации – величины безразмерные.

Простейшие типы деформации бруса.

При произвольной форме тела его деформации могут быть весьма разнообразными.

Для бруса можно указать несколько простейших типов деформаций, возникающих при определённом способе приложения внешних сил.

Рассмотрим эти простейшие деформации бруса:

1). Осевое растяжение или сжатие (рис. 10а).

При осевом растяжении или сжатии в поперечных сечения бруса возникают только продольные силы N. Брус, испытывающий растяжение или сжатие, называют стержнем. В

зависимости от вида конструкции сжатые стержни также называют стойками, колоннами,

столбами.

2). Сдвиг (рис.10б).

При сдвиге в поперечных сечения бруса возникают только поперечные силы Q.

Деформации сдвига возникают в заклёпочных, болтовых, сварных, клеевых соединениях. 3). Кручение (рис.10в).

При кручении в поперечных сечения бруса возникают только крутящие моменты Mz.

Стержни, работающие на кручение, называют валами. 4). Изгиб (рис.10г).

В поперечных сечения стержня возникают изгибающие моменты и поперечные силы,

например, Mx и Qy. Стержни, работающие на изгиб, называют балками.

В заключение отметим, что другие типы деформации стержней в большинстве случаев оказывается возможным рассматривать как комбинацию простых деформаций.

Лекция №2

Стержень и его геометрические характеристики.

Стержень характеризуется осью и поперечным сечением.

Ось – линия соединяющая центры тяжести всех поперечных сечений стержня.

Поперечное сечение – плоская фигура, получающаяся при рассечении стержня плоскостью перпендикулярной его оси.

Ось стержня может быть прямолинейной или криволинейной.

Поперечное сечение может быть постоянным по длине стержня, но может быть и переменным (рис. 11).

При расчётах стержней на прочность используется не только площадь поперечного сечения стержней, но и более сложные геометрические характеристики сечений, которые необходимо ввести и научиться пользоваться ими.

1. Статические моменты сечений.

Разбиваем заданную фигуру на элементарные площадки dA (рис. 12). Умножаем площадь каждой площадки на координаты их центра тяжести х и у. Интегрируя по площади сечения, в итоге получим следующие результаты:

Sx = ∫ y dA , Sy = ∫ x dA .

A A

Sx и Sy называютсястатическими моментами сечения относительно осей х и у.

Для статических моментов можно указать следующие свойства:

статические моменты выражаются в см3, м3 и т. д.

статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

статические моменты равны нулю относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения – центральных осей.

Установим зависимость между статическими моментами относительно пары параллельных

осей (рис. 13).

Sx1 = ∫ y1 dA ; Sx = ∫ y dA = ∫(y1 + a) dA = ∫ y1 dA + a ∫ dA = Sx1 + a × A .

A A A A A

Выполняя аналогичные вычисления для осей у и у1 , окончательно получим

Sx = Sx1 + a × A ; Sy = Sy1 + b × A .

Если оси х1 и у1 проходят через центр тяжести сечения (точка С, рис. 14), тогда

а = ус, b = хс и из полученных выше равенств будем иметь

Sxc = Sx - yc × A , Syc = Sy - xc × A .

Приравняв статические моменты Sxc и Syc нулю, получим формулы для определения положения центра тяжести сечения:

Из полученных формул следует:

статические моменты равны нулю относительно центральных осей;

оси симметрии являются центральными осями.

Если сечение можно разбить на ряд простых фигур (прямоугольники, треугольники, круг,

полукруг и т. д.), площади и центры тяжести которых известны, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам:

В отдельных случаях, когда заданное сечение нельзя разбить на простейшие, положение центра тяжести необходимо определять путём интегрирования.

2. Моменты инерции сечений.