8777
.pdfI участок. 0<z<4 м |
II участок. 4 м<z< 6 м |
|
|
EJxv1// = - Мх = - (20 z) |
EJxv2// = - Мх = - (20 z – 60 (z-4)) |
EJxθ1 = - 10 z2 + C1 |
EJxθ2 = - 10 z2 + 30 (z-4)2 + C2 |
|
|
EJx v1 = - (10/3) z3 + C1 z + D1 |
EJx v2 = - (10/3) z3 + 10 (z-4)3 + C2 z + D2 |
|
|
5. Определяем постоянные интегрирования.
∙Условие плавности изогнутой оси при z = 4 м: θ1(4) = θ2(4). Отсюда находим С1 =
С2.
∙ Условие непрерывности изогнутой оси z = 4 м: v1(4) = v2(4). Отсюда находим D1 =
D2.
∙Условие закрепления балки при z = 0: v1(0) = vA= 0. Отсюданаходим D1 = D2 = 0.
∙Условие закрепления балки при z = 6 м: v2(6) = vВ= 0. Отсюданаходим С1 = С2 = 320/3.
С учётом полученных значений постоянных интегрирования для углов поворота и
прогибов сечений балки окончательно получаем следующие выражения:
I участок. 0<z<4 м |
II участок. 4 м<z< 6 м |
|
|
EJxθ1 = - 10 z2 + 320/3 |
EJxθ2 = - 10 z2 + 30 (z-4)2 + 320/3 |
|
|
EJx v1 = - (10/3) z3 + (320/3)z |
EJx v2 = - (10/3) z3 + 10 (z-4)3 + (320/3)z |
|
|
Эпюры углов поворота и прогибов балки показаны на рис. 66.
Максимальный прогиб в сечении балки 1 участка, где θ1 = 0:- 10 z2 + 320/3 = 0.
Отсюда находим координату сечения z ≈ 3,266 м.
Максимальный прогиб в этом сечении будет равен f≈ 14,93 мм.
Прогиб в середине пролёта балки при z = 3 м равен vсер. ≈ 14,78 мм.
Максимальный прогиб и прогиб в середине пролёта отличаются всего лишь на 1%, поэтому при проверке балок на жёсткость достаточно определить прогиб в середине пролёта.
Рис. 66
Пример 2. Выполнить расчёт деревянных балок с прямоугольным и круглым сечением.
Расчётные характеристики балок: [ σ ] = 12 МПа, [ τ] = 2 МПа, Е = 104МПа, [ f ] = l/200. 1.Определяем размеры поперечного сечения балок.
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Балка с прямоугольным поперечным сечением. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx |
b×4b2 |
|
6125кНсм |
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h=2b |
|
|
|
|
|
|
x Wx ³ |
[σ ] |
; Wх = |
|
|
³ |
|
|
= 5104,2см |
|
. b = 19, 7 см ≈ 20 |
см. h = 40 см. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1,2кН /см2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1,3МПа < [τ ]=2МПа. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Qу |
70кН |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
= 1,5× |
|
= 0,13кН /см |
|
|
||||||||||||
2 |
А |
(20×40)см2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Jx= |
bh3 |
= |
20×403 |
|
= 106667см4 . EJx = 103кН/см2 · 106667 см4 |
|
= 10666,7 кНм2. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Балка с круглым поперечным сечением.
W ³ |
Mx |
; |
W = π ×d |
3 |
³ |
6125кНсм |
= 5104,2см3 . d= 37,3 см ≈ 40 см. |
|
[σ ] |
|
1,2кН / см2 |
||||||
x |
|
х |
32 |
|
|
|
||
d |
|
4 Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = |
у |
= |
4 |
× |
|
70 |
кН |
2 = 0,074кН /см2 = 0,74МПа < [τ]=2МПа. |
|||
x |
|
3 |
(π ×20 |
2 |
)см |
|||||||
|
|
3 А |
|
|
|
|
|
|||||
y |
Jx= π d4 |
= π ×404 |
= 125664см4 . EJx = 103кН/см2 · 125664 см4 |
= 12566,4 кНм2. |
||||||||
|
|
64 |
|
|
64 |
|
|
|
|
|
||
2. Определяем перемещения балки. Начало координат помещаем на границе участков
(рис. 67). Ось у направляем вниз.
1 участок. 0 <z< 4 м |
|
2 участок. 0 <z< 2 м |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Q1x = 70 – 40 z |
Q2x = 70 – 40 ·4 + 120 = 30кН |
|
|
|||
M1х = 70z – 20 z2 |
M2х = -20+ 70(4+z)- 40·4(2+z)+ 120z = -60 + 30z |
|||||
EJxv1// = - М1х = - 70z+ 20z2 |
EJxv2// =- М2х = 60 – 30 z |
|
|
|
||
EJxθ1 = - 35z2 + 20/3 z3 + C1 |
EJxθ2= 60z – 15 z2 + C2 |
|
|
|
||
EJxv1 = - 35/3 z3 + 5/3 z4 + C1z + D1 |
EJxv2 = 30z2 – 5 z3 + C2z + D2 |
|
|
|||
3. Постоянные интегрирования определяем из следующих условий: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Условие закрепления на опоре А: |
|
z1 |
= 0 |
v1(0) |
= 0 |
|
Условие плавности на границе участков: |
z1 |
= 4 м, z2 = 0 |
θ1(4) = θ2 (0) |
|
||
Условие непрерывности на границе |
|
z1 |
= 4 м, z2 = 0 |
v1(4) |
= v2(0) |
|
участков: |
|
|
|
|
|
|
Условие закрепления на опоре В: |
|
z2 |
= 0 |
v2(0) |
= 0 |
|
В результате получим следующие значения для постоянных интегрирования:
D1 = 0, D2 = 0, C1 = 80, C2 = - 53,33.
4. Вычисляем перемещения в сечениях балок и строим эпюры перемещений.
z1(м) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2(м) |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ |
80,00 |
51,67 |
- 6,67 |
-55,00 |
-53,33 |
-8,33 |
6,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxv |
0,00 |
70,00 |
93,33 |
60,00 |
0,00 |
- 28,33 |
- 26,66 |
|
|
|
Прямоугольная балка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ (рад) |
0,00750 |
0,00484 |
- 0,00063 |
- 0,00516 |
- 0,00500 |
- 0,00078 |
0,00063 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v (мм) |
0,00 |
6,56 |
8,75 |
5,63 |
0,00 |
- 2,66 |
- 2,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Круглая балка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ (рад) |
0,00637 |
0,00411 |
- 0,00053 |
- 0,00438 |
- 0,00424 |
- 0,00066 |
0,00053 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v (мм) |
0,00 |
5,57 |
7,43 |
4,78 |
0,00 |
- 2,25 |
- 2,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 67 |
5. Проверяем условие жёсткости балок:
Прямоугольная балка - v = 8,75 мм < [ f ] = 4000 мм / 200 = 20 мм.
Круглая балка - v= 7,43 мм < [ f] = 4000 мм / 200 = 20 мм.
Таким образом, полученные из условий прочности размеры поперечного сечения балок обеспечивают также выполнение условий жёсткости балок
На рис. 68 приведены задачи для самостоятельного решения методом непосредственного интегрирования по участкам. Подобрать сечение стальной балки из прокатного двутавра.
Расчётные характеристики балок: [ σ ] = 160 МПа, [ τ ] = 100 МПа, Е = 2٠105МПа.
Допускаемый прогиб [ f ] = l/ 100, где l– длина балки.
Рис. 68
Практика №6
Пример 1. Для заданной балки (рис.69) определить углы поворота сечений и прогибы методом начальных параметров.
Начало координат помещаем на левом конце балки, ось у направим вниз.Начальные параметры: vo = vA = 0, θo = θA ≠ 0, Mo = 0, Qo = 70 кН.
Универсальное уравнение прогибов балки:
EJx v (z)= EJx |
|
z3 |
|
z4 |
(z - 4)4 |
(z - 4)2 |
(z - 4)3 |
||
θo z - 70 |
|
- 40 |
|
+ 40 |
- 20 |
+ 120 |
. |
||
6 |
24 |
||||||||
|
|
|
24 |
2 |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: при различных значениях Z значения в круглых скобках всегда неотрицательные числа, в противном случае отрицательное слагаемое в рассматриваемом выражении не учитывается – оно равно нулю.
Условия закрепления балки. |
|
При z = 0 vA = vo = 0. |
||||||
При z = 4 м |
v(4) = vВ = 0: |
|
|
|
||||
EJx v (4)= EJxθo |
×4 - |
|
43 |
- 40 |
44 |
|
= 0. Отсюда находим EJxθo = 80,00. |
|
70 |
|
|
|
|||||
6 |
24 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение прогибов балки окончательно примет вид:
EJxv (z)= 80,0 z - (35 / 3)z3 + (5 / 3)z4 - (5 / 3)(z - 4)4 + 10(z - 4)2 - 20(z - 4)3 .
Дифференцируя уравнение прогибов, получим уравнение углов поворота:
EJxθ (z)= 80, 0 - 35 z2 + (20 / 3)z3 - (20 / 3)(z - 4)3 + 20 (z - 4) - 60 (z - 4)2 .
Вычисляем углы поворота и прогибы в сечениях балки.
z(м) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxθ(z) |
80,00 |
51,67 |
-6,67 |
-55,00 |
-53,33 |
-8,33 |
6,67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJxv(z) |
0 |
70.00 |
93.33 |
60.00 |
0 |
-28.33 |
-26.66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 69 |
Александр Николаевич Анисимов Михаил Федорович Сухов Светлана Юрьевна Лихачева Дмитрий Александрович Кожанов
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине
«Техническая механика» для обучающихся по направлению 20.03.01 Техносферная безопасность, профиль: Безопасность
технологических процессов и производств
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, Ильинская, 65. http://www.nngasu.ru, srec@nngasu.ru