Простейший поток событий

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Например, поступление вызовов на АТС, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов и т.д. Рассмотрим основные свойства потоков событий.

Свойство стационарностихарактеризуется тем, что вероятность появленияkсобытий на любом промежутке времени зависит только от числаkи от длительностиtпромежутка и не зависит от начала его отсчета, при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последействияхарактеризуется тем, что вероятность появленияkсобытий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарностихарактеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появленияkсобытий простейшего потока за время длительностьюt определяется формулой Пуассона:. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, т.е. формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример.Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

По условию: По формуле Пуассона:

а)

б) эти события практически невозможны.

в) – практически достоверное событие.

22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно– это числовые характеристики величин. Рассмотрим математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, тогда.

Если дискретная случайная величина Хпринимает счетное множество возможных значений, то, причемМ(Х) существует, если ряд сходитсяабсолютно.М(Х) – неслучайная (постоянная) величина.

Пример 1.НайтиМ(Х), если задан закон распределения:

Х	2	3	5
р	0,3	0,1	0,6

Пример 2.НайтиМ(Х) числа появлений событияА в одном испытании, если вероятность появления событияАравнар.

Пусть Х – число появлений событияА, тогда– событиеАнаступило с вероятностьюри– событиеАне наступило с вероятностью

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.