23.2. Точечные оценки

Вариационный ряд характеризует случайную величину, но не в полной мере, поэтому используются характеристики, аналогичные теоретическим – М(х),D(х) и т.д. Эти числовые характеристики подсчитываются на основании выборки и называются точечными оценками (т.к. являются числами).

Точечной оценкой характеристики Qназывается некоторая функцияQ* результатов наблюдений, значение которой принимают за приближение этой характеристики:. Качество точечной оценки определяется характеристиками:

1. Несмещенность оценки: точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру:, т.е. совпадает с истинным значением.

2. Состоятельность:точечная оценка называется состоятельной, если она пристремится по вероятности к оцениваемому параметру.

3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданномn) наименьшую дисперсию.

Основные точечные оценки

1. Выборочная средняя:.

Выборочная средняя приближается кМ(х), является несмещенной, состоятельной и эффективной.

2. Выборочная дисперсия:.S²является состоятельной, но смещенной, поэтому часто используютнесмещенную оценку – исправленную выборочную дисперсию:

3. Начальные и центральные моменты k- го порядка. Начальный моментk-го порядка:. Центральный моментk-го порядка:

23.3 Интервальные оценки для генеральной средней

При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра, поэтому широко используют интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Доверительной вероятностью (надежностью) называется вероятность g, с которой осуществляется неравенство, т.е., гдеQ* – найденная характеристика параметраQ. Надежностьgобычно выбирается 0,95; 0,99; 0,999 и т.д.

Интервальные оценки для генеральной средней с известным s

Пусть известно среднее квадратическое отклонение sгенеральной совокупности с нормальным законом распределения. Требуется оценить неизвестное математическое ожиданиеа по выборочной средней. Будем рассматривать выборочную среднююкак случайную величину, для которой (– случайная величина, т.к.меняется от выборки к выборке).

Тогда по следствию интегральной теоремы Лапласа имеем: , где ,– точность оценки.

Число определяем по таблице значений функции Лапласа:. Получаем:,– интервальная оценка для математического ожиданияа.

Пример.Случайная величинаимеет нормальное распределение сs =3. Найти доверительный интервал для оценки генеральной среднейа, если, надежностьg = 0,95.

Найдем t: функция Лапласа,, точность: ,

Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s

Пусть признак Хгенеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонениеsнеизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожиданиеа по выборочной средней. Для построения интервальной оценки используется статистика, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы. Получаем: гдеn– объем выборки,–исправленное среднее квадратическое отклонение, – выборочная средняя,– уровень значимости,находим по распределению Стьюдента (t– распределение) (для двухсторонней критической области). Точность оценки: . Можно по таблице приложения 3 Гмурмана.

Пример.Средняя урожайность пшеницы на 16 опытных участках =25 ц/га, ац/га. Найти с надежностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.

Число степеней свободы ,, по таблице распределения Стьюдента находим:. Точность оценки:; тогда(ц/га).