Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равной нулю. D(C) = 0.

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Если |C| > 1, то величинаСХимеет большие (по модулю) значения, поэтомуD(CX)>D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X+Y) = D(X) + D(Y). Докажем:

Следствие: D(X+C) = D(X) + D(C) = D(X),С =const.

4. D(X – Y) = D(X) + D(Y). Докажем:D(X–Y) = D(X) + D(–Y) = D(X) + (–1)² D(X) = =D(X) + D(Y).

Теорема.Дисперсия числа появлений событийАвnнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событияАp = const, равнаnpq = D(X), где .

Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна D(X)= npq.

22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х– это корень квадратный из дисперсии:.

Размерность дисперсии равна квадрату размерности Х, тогда как размерность(Х)равна размерностиХ. Во многих случаях это оказывается удобнее.

Пусть – независимые случайные величины, тогда. По свойству дисперсии:, тогда

.

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным моментом порядка kслучайной величиныХназывают математическое ожидание величины:Например,,,,…

.

Центральным моментом порядка kназывается математическое ожидание величины:, например,,и т.д.

Мода и медиана.Модойслучайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для дискретных величин) или то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Если имеется более одного максимума, то распределение называютполимодальным.

Медианойназывают такое значение случайной величины (обычно – непрерывной), для которогоГеометрически – абсцисса точки, в которой площадь делится пополам.

22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин - это функция распределения вероятностей случайных величин.

Пусть x– действительное число. Вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньшеx, т.е.Р(X<x) обозначим черезF(x). Еслиxизменяется, то изменяется иF(x), т.е. F(x) – функциях.

Функцией распределенияназывают функциюF(x), определяющую вероятность того, что случайная величинаХв результате испытания примет значение, меньшеx, т.е.F(x)=P(X<x). ГеометрическиF(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точких.

Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства f(X)

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0 F(x) 1 – F(x) вероятность, 0 P(A)1 .

2. F(x) неубывающая функция, т.е.F() F(), если > .

Доказательство:

Пусть > . Событие, состоящее в том, чтоХпримет значение меньше, можно разделить на 2 несовместных события:

1. Хпримет значение, меньше, с вероятностьюР(<);

2. Хпримет значение  <с вероятностьюP(  <).

По теореме сложения: Р(<) = Р(<x₁) + P(  <),

отсюда Р(<) – Р(<) = P( <x₂) илиF() – F() = P(<), но.

Следствие 1. Вероятность того, чторавна приращениюF(x) на этом интервале:Р()= F(b) – F(a) (=b, x₁=a).

Следствие 2.Вероятность того, что случайная величинаХпримет одно определенное значение равна 0.

Р(a  Х < b) = Р(a < Х < b) = Р(a < x  b) = Р(a  x  b).

3. Если возможные значения случайной величины (a,b), то: 1)F(x) = 0 приx  a;

2) F(x) = 1 приx >b.

Докажем. Если  a, то события X<x невозможны. Пусть  b, тогдаX<– достоверное событие.

Следствие. Если значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то .