25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение Хможет встречатьсяn_xраз, одно и то же значениеY–n_yраз. Поэтому данные наблюдений группируют и записывают в виде корреляционной таблицы. Если данные сгруппирированы, то, учитывая, что , , и , запишем систему 25.2 в виде: (1)

Решив эту систему, найдем и получим уравнение регрессииYнаX. Однако это целесообразно сделать иначе. Из второго уравнения, подставим в ,тогда .

Найдем из (1) _.

Умножим обе части равенства на дробь :– выборочный коэффициент корреляции. Выразив через, получим уравнение прямой линии регрессииYнаХ:. Аналогично,- уравнения регрессииXнаY.

Выборочный коэффициент корреляции rслужит для измерения линейной связи междуХ иY, т.к. выборка случайная, то надо проверить гипотезу H₀:r= 0 приH₁:r0.

Для этого вычисляем и по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимостии числу степеней свободынаходимдля двухсторонней критической области. Если- нет оснований отвергать гипотезу. Это означает, чтоYиХне коррелированны, т.е. не связаны линейной зависимостью. Если, то нулевую гипотезу отвергаем, т.е.иХиYкоррелированны.

Пример.Найти выборочное уравнение прямой линии регрессииYнаХпо данным корреляционной таблицы.

Y	X						ny
	10	20	30	40	50	60
15	5	7					12
25		20	23				43
35			30	47	2		79
45			10	11	20	6	47
55				9	7	3	19
nx	5	27	63	67	29	9	n=200

Для упрощения работы перейдем к условным вариантам и, гдес₁ис₂– средние значениях иу,– шаг измененияхиу. Имеем:;. Запишем корреляционную таблицу дляuиv

v	u						nv
	-3	-2	-1	0	1	2
-2	5-15	7-14					12	-29	58
-1		20-40	23-23				43	-63	63
0			30-30	470	22		79	-28	0
1			10-10	110	2020	612	47	22	22
2				90	77	36	19	13	26
nu	5	27	63	67	29	9	n=200

Выборочный коэффициент корреляции r вычислим по формуле. Удобно вычислять, используя формулу:

или, для контроля

В каждой клетке, где записываем произведение частотына варианту. Складываем все числа в строке и записываем в графу, и затем умножаем полученное число на вариантуv, результат - в последнюю графуvu. Сложив все числа столбцаvu, получаем искомую сумму:. Вычислим средние значения вариант и выборочные среднеквадратичные отклонения.

Аналогично,

Тогда

Затем вычисляем: ,

, ,

Проверяем значимость r: находим .

По таблице Стьюдента ; 10,6>1,98 – нулевую гипотезуотвергаем, т.е.x иу коррелированны и действительно связаны линейной зависимостью.