2. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Этот вопрос возникает, если требуется сравнить точности приборов, методов измерений и т.д.

Пусть ХиY– нормально распределенные генеральные совокупности. По двум выборкам объемамиn₁иn₂найдены исправленные выборочные дисперсиии. При уровне значимостиaпроверяем нулевую гипотезу,при конкурирующей гипотезе.

Исправленные выборочные дисперсии обычно различные. Требуется установить: различие значимо (существенно) или незначимо, т.е. объясняется случайными причинами. Выбираем F– статистику, распределенную по закону Фишера–Снедекора. Наблюдаемое значение:(отношение большой исправленной дисперсии к меньшей), число степеней свободы:(где- объем выборки с большей исправленной дисперсией),(где- объем выборки с меньшей исправленной дисперсией). По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора для уровня значимостиa, числа степеней свободыопределяем . Если , то гипотеза принимается, если , то гипотеза отвергается.

Если Н₁ :, то значениеопределяется для уровня значимости , поскольку необходимо построить двухстороннюю критическую областьи.

Иногда требуется проверить нулевую гипотезу – определенное заданное значение генеральной дисперсии. Для проверки используют статистику– исправленная выборочная дисперсия. Определяют.

а) Если конкурирующая гипотеза имеет вид то для определениявыбираем правостороннюю критическую область и по таблице распределения Пирсона () определяем(на уровне значимостидля числа степеней свободы). Если, то гипотезупринимаем, если – отвергаем гипотезу.

б) если то строим двухстороннюю область, определяем левуюи правуюкритические точки. Еслито гипотезапринимается, еслиили, то гипотезаотвергается.

в) Если то строим левостороннюю критическую область, находим. Если, то принимаем гипотезу, если, тоотвергается.

Пример. По 2 выборкам объемамиn₁= 10 иn₂ = 18 найдены исправленные выборочные дисперсии. При уровне значимости проверить гипотезу:.

Находим . Критическая область – двухсторонняя. ,поскольку 3 > 2,5, то гипотеза отвергается (дисперсии различаются значимо).

24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями

Пусть XиY– нормально распределенные генеральные совокупности, генеральные дисперсии которых известны и равнысоответственно. По данным независимых выборок с объемамиnиm, извлеченных из генеральных совокупностей, найдены выборочные средние. Для проверки нулевой гипотезыиспользуем случайную величину, (), которая имеет нормированный нормальный закон распределения (N(0;1)). По данным выборок определяем.

а) Если конкурирующая гипотеза имеет вид , тоz_крнаходим из равенства– функция Лапласа. Если, то гипотезупринимаем; если– то принимаем конкурирующую гипотезу.

б) Если конкурирующая гипотеза , тоz_кр определяем из равенстваДалее – аналогично: если, топринимаем; если– то принимаем.

Если требуется проверить гипотезу , то наблюдаемое значение определяют по формуле.z_кр определяют из равенства ипри. Далее – аналогично.

Если неизвестно, то(– исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение),определяют по распределению Стьюдента сk=n– 1 числом степеней свободы на уровне значимости(двухсторонняя область) и 2(правосторонняя или левосторонняя критическая область) (верх-низ у Гмурмана). Если–H₀ принимаем, иначе – отвергаем.