22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник

Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу: или в полуполосу

Функция распределения считается известной, она определяет вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной. Тогда вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна:- это разность вероятностей попадания случайной точки в квадрант с вершинойи вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной. Аналогично,. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим вероятность попадания в прямоугольник ABCD, заданий уравнениями сторон:. Эта вероятность равна разности вероятности попадания случайной точки в полуполосуАВи вероятность попадания случайной точки в полуполосуCD:.

Y

X

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.

Двумерная плотность распределения вероятностей – вторая смешанная частная производная от функции :.

Геометрически – это поверхность (поверхность распределения). Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения:

Вероятностный смысл f(x, y)

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD: . Применим теорему Лагранжа:, где. Отсюда– это отношение вероятности попадания в квадрат к его площади.

Перейдем к пределу .

Свойства :

1. f(x,y)³0 (F(x,y), поскольку– неубывающая функция своих аргументов.

2. .

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

– это вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонамии. Разобьем областьDнаnэлементарных областей прямыми, параллельнымиОуиОхна расстоянииDхиDу. Вероятность попадания случайной точки в областьDравна сумме вероятностей попадания точки в элементарные области:. Переходя к пределу, получим.

Раздел IX. Элементы математической статистики

Глава 23. Статическая оценка параметров распределения

23.1. Задачи математической статистики. Вариационный ряд

Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:

а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты.

Вариационный ряд

Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:

5,5,5,5 6,6 7,7,7 8

4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.

При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называетсячастотой варианты. Полученную таблицу называютвариационным рядом.

xi	5	6	7	8
ni	4	2	3	1

xi	x1	x2	…	xk
yi	n1	n2	…	nk

В общем виде:

– объем выборки.

Графическое изображение вариационного ряда – полигон.

Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной hи находят для каждого частичного интервалаn_i– сумму частот вариант, попавших вi-й интервал.

Гистограммой относительных частотназывают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиноюh, а высоты равны, где– относительная частота.