§ 22. 6 Теорема Умова - Пойнтинга для мгновенных значений.

Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электро-

магнитного поля имеет теорема Умова - Пойнтинга, которая описывает

энергетические соотношения в поле.

Теорема Умова – Пойнтинга имеет две формы записи: первая -для мгновенных значений, вторая - комплексная форма - для синусоидально изменяющихся величин

.

Для сокращения записи обозначим векторное произведение Е на Н через П, т. е. примем, что П = [ЕН]; П — это вектор, называемый

вектором Пойнтинга; размерность его равна

произведению размерностей E и Н:

[П]=[Е][Н]==ВА/м²

Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рис. 22.1) совпадает с на­правлением движения острия правого винта.

если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от Е к Н. Следовательно,

Распространим (22.11) на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем (22.11) по объему V:

______________________________

Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса преобразовывается в линейный (см. § 21.14): ∫rotАdS=∮Adl,

s

объемный интеграл в свою очередь может быть преобразован в поверхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы

, где — элемент поверхностиобъема , а знак∑ означает суммирование по всем поверхностям объема. Тогда

∫ divПdy=∑∑ =∑∑П𝜟𝙎

𝙑

Пёрвый знак суммы означает суммирование по поверхностям малого объема, а второй - по

отдельным объемам. Сумма∑∑П 𝜟𝙎может быть разбита на двесуммы: на сумму выражений П𝜟S по всем поверхностям, отделяющим один объем от сосед­него (по «внутренним» поверхностям), и насумму П𝜟S по всем «периферийным»поверхностям. Первая сумма равна нулю, так как для двух смежных объемов. внешние нормали к об­щей поверхности направлены встречно. Рис. 22.3поясняет это; mn — общая грань двух объемов. Для верхнего объема нормаль к грани направлена вниз (𝜟S₁, для нижнего — вверх (𝜟S₂); вектор П, будучи умноженным на (𝜟S₁+ 𝜟S₂),

даст нуль. Сумма П𝜟S по всем периферийнымповерхностям и представляет собой∮ПdS.

Теорему Умова — Пойнтинга для мгновенных значений записывают следующим образом:

Напомним вывод этого соотношения. Введем индексыа и b, указывающие, по какой переменной (А или В) производится дифференцирование, и учтем, что можно в циклическом порядке менять множители. Будем иметь:

Левая часть (22.12) представляет собой поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем𝙑.

Поясним смысл знака «минус» в левой части формулы(22.12). Элемент поверхностиdSв любой ее точке направлен в сторону внешней по отношению к рассматриваемому объему нормали. Вектор Пойнтинга П направлен

123

.внутрь этого объема. Поскольку угол между П и dS больше 90^е, то скалярное про- изведение ПdS < 0, a —ПdS> 0. Таким образом, за счет знака «минус»-левая часть формулы (22.12) — величина положительная.

В соответствии с уравнением Джоуля — Ленца в дифференциалной. форме уЕ² есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени.

Убедимся, что энергия, передаваемая приемнику в единицу времени, равная UI, действительно канализируется по диэлектрику.

С этой целью подсчитаем поток вектора Пойнтинга через попереч­ное сечение диэлектрика, в.рассматриваемом примере представляющее собой кольцо с внутренним радиусом r₁, и наружным r₂. Напряжен-

ность магнитного поля в диэлектрике, по за­кону полного тока:

Напряженность электрического поля в ди­электрике при постоянном токе определяется так же, как и в условиях электростатики;

где Q — полный заряд жилы на длине L U-напряжение между жилой и оболочкой. Следовательно, в некоторой точке диэлектрика расположенной на расстоянии r от оси (r₁ r ₂),

Обратим внимание также на то, что формула (22.12) учитывает возможность прохождения потока вектора транзитом через объемV.

Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода оке в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами; по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).

Покажем справедливость этого утверждения на простейшем при- мере. Пусть энергия постоянного тока передается по коаксиальному кабелю (рис. 22.4), Радиус жилы r₁ внутренний радиус оболочки r₂.Примем проводимость материала жилы и оболочки настолько большой (теоретически бесконечно большой), что напряженности поля Е = /γв жиле и оболочке стремятся к нулю. Пространство между жилой и оболочкой заполнено диэлектриком.

* Н. А. Умов (1846—1915) с 1893 по 1911 г. являлся профессором Московского университета. В 1874 г. защитил докторскую диссертацию «О движении энергии в уп- ругих средах», где рассмотрен вопрос о потоке энергии в упругих средах и о плотностни потока энергии. Применительно к электромагнитному полю понятие о потоке энергии было развито английским физиком Пойнтингом в 1885 г.

Таким образом, вся поступающая к приемнику энергия деистви-

тельно передается по диэлектрику. По жиле и оболочке энергия к приемнику не передается. Более того, если учесть, что γ конечна

_жилы коаксиального кабеля (рис. 22.5), а также подсчитать величи­ну, потока вектора Пойнтинга через боковую поверхность жилы на длине в 1 м и сопоставить величину потока вектора Пойнтинга с потерями энергии в жиле на длине в 1 м. Радиус медной жилы r₁ ==0,3 см;

125

внутренний радиус оболочки г₂ = 1 см. Протекающий по кабелю постоянный ток / = 50 А. Напряжение между жилой и оболочкой U = 10 кВ.

Решение. Нормальная составляющая напряженности элект- рического поля на поверхности жилы:

Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности жилы но закону Ома:

Вектор напряженности электрического поля,Е составляет с нор­малью к поверхности жилы угол α (см. рис. 22.5), тангенс которого:

Напряженность магнитного поля на поверхности жилы, по закону полного тока,

Для определения величины потока вектора Пойнтинга внутрь жилы : на длине в 1 м следует умножить составляющую вектора Пойнтинга | Е_tН, проникающую внутрь жилы, на величину боковой поверхности жилы на длине в 1 м:

Пример 221. На рис. 22.6, а и б изображен сердечник трансформатора и один виток, окружающий сердечник. Концы витка обозначены а и b. Намагничивающая | обмотка трансформатора на рисунке не показана. По сердечнику проходит синусоидально изменяющийся во времени магнитный поток Ф = Ф_m sin ωt. Поток вне сердечника отсутствует. К концам витка а и b присоединим вольтметр электродинамической системы с сопротивлением R_v один раз в соответствии с рис. 22.6, а, другой -по рис. 22.6,6. Определим показание вольтметра в этих двух случаях, полагая, что активное,сопротивление самого витка R_В R_v и что индуктивность рассеяния витка L_S ничтожно мала.

щие от точек а и b витка к вольтметру на рис. 22.6, б, образуют второй виток, в ко- тором изменяющимся магнитным потокам наводится такая же э. д. с, что и в основ- ном витке (см. рис. 22.6, в). При обходе контура, состоящего из двух витков, убеж- даемся, что суммарная э. д. с. в контуре равна нулю. 2. Такой же вывод сделаем, если учтем, что суммарный поток, пронизывающий заштрихованную площадь кон- тура. 22.6. в, равен нулю (поток' ; '

вне сердечника по условию, отсутвует)

Рассмотренный пример свидетельствует' о том, что при измерениях в переменном электромагнитном поле показание вольтметра зависит от того, как расположены провода от вольтметра, до объекта измерения.