Никитенко Нестационарные процессы переноса и 2011

nesc ≈ 2,3 – среднее число прыжков до ухода с данной ловушки (по-

лучено подгонкой под результат монте-карловского моделирования). Cравнение результатов (4.16), (4.17) и (4.13) показывает их хорошее совпадение [4:7]. Таким образом, результаты работы [4:6] подтверждают подход, основанный на концепции транспортного уровня [3:23, 27].

Следует отметить особенности полевой диффузии в одномерном случае. В отличие от двумерной и трёхмерной проводимости, в этом случае перемещение носителя между «основными» состояниями является коррелированным. В частности, велика вероятность возврата носителя на такое состояние после испускания с другого «основного» ЛС. Видимо, этим обстоятельством объясняется необычная полевая зависимость для коэффициента СПД, полученная теоретически в работе [4:8]. Точное (и весьма громоздкое) выражение в слабом поле, eF0 d kT ≡ f <<1 (d – расстояние между прыж-

метить, что A >>1 при значительном беспорядке ( σ > kT ), так что линейное (второе) слагаемое доминирует лишь в достаточно узком интервале слабых полей, A−1 < f < 4 A−1 .

Полевая диффузия исследовалась методом Монте-Карло также в рамках модели коррелированного гауссовского беспорядка [4:9]. Как и в отсутствие корреляций, DF μ >> kTe , однако из опубли-

кованных данных при слабом поле следует DF (μF )s , где s ≈1,6 ÷1,7 . Неясно, обусловлена ли величина s ≤ 2 наличием кор-

реляций или малыми размерами модельного образца, как обсуждалось выше.

171

4.3.2.Решение уравнения неравновесного транспорта

вусловиях времяпролётного эксперимента

При отсутствии квазиравновесия для достаточно мелких ловушек, с энергиями E > Ed (t ), заселённость уже близка к равновес-

ной. Для таких ловушек справедливы выводы прошлого раздела, однако нижний предел интегрирования в выражениях для θи ω

следует заменить на Ed (t ). Поэтому коэффициент полевой диффузии DF (t ) и подвижность μ(t) зависят от времени. Если распреде-

ление ловушек убывает с их глубиной быстрее экспоненциальной функции, в пределе больших времён получаются постоянные выражения (4.12).

Отличительной особенностью уравнения (3.39а) является 3-й член в левой части, который описывает стимулированную полем диффузию в неравновесном режиме. Следует напомнить, что обычная диффузия в уравнении (3.39а) не учитывается, согласно типичным условиям времяпролётного эксперимента.

Ограниченное решение уравнения (3.39) с начальным условием N (x,0) = N0 (x,0) = σ0δ(x), которое отвечает случаю времяпролёт-

ного эксперимента, то есть импульсной приэлектродной генерации носителей заряда с поверхностной плотностьюσ0 , имеет вид

172

Рис. 4.1. Координатные зависимости плотности носителей N (x,t) , вычисленные из уравнений (4.18) для времён t = 0,5ttr и t = ttr (сплошные линии). Соответ-

ствующие гауссовские профили показаны пунктиром. Штрихпунктирные линии показывают соответствующие решения (1.41) уравнения (1.40), то есть результат

приближения СНТ. F0 = 2 105 В/см, σkT = 3,5 , 2γM0−1/ 3 =10 , L = 5 мкм

Время пролёта ttr – это момент времени, когда «центр тяжести» пакета носителей достигает тылового электрода, x(ttr ) = L , то есть

173

На рис. 4.1 представлены координатные профили плотности носителей заряда, вычисленные согласно уравнениям (4.18) для двух моментов времени, t = 0,5ttr и t = ttr , см. сплошные линии. Рас-

смотрен случай, когда казиравновесная подвижность успевает установиться до пролёта носителей через образец толщиной L . Видно, что при t = ttr максимум координатного распределения носите-

лей, практически совпадает с x = L . Поэтому время ttr , определяемое уравнением (4.22), можно считать хорошим приближением ко времени t1 2 , когда половина генерированных носителей заряда по-

кидает образец. Негауссовский «хвост» распределения возникает благодаря захвату носителей на глубокие ловушки, время освобождения с которых превышает время пролёта (по этой же причине возникает экспоненциальный множитель в уравнении (4.22)). В то же время профиль координатной зависимости резко отличается от экспоненциально убывающей функции Ndisp(x,t) (1.41), которая получена в приближении СНТ (эти решения для соответствующих моментов времени показаны на рис. 4.1 штрихпунктирными линиями).

4.3.3. Неравновесный дрейф и стимулированная полем диффузия носителей заряда в случае гауссовского распределения ловушек

Из уравнений (1.28), (3.37), (1.84), получаем следующие выражения для функций, определяющих временные зависимости подвижности и коэффициента полевой диффузии в случае гауссовского распределения ЛС (1.84):

174

функция ошибок.

Анализ уравнений (4.23), показывает, что характерные времена установления равновесных значений μeq и DFeq, см. уравнения

(4.12а) и (4.22б), teq _ μ и teq _ D , имеют вид

Второе из характерных времён может на несколько порядков превышать первое в типичном случае σkT >>1. При t >> teq _ μ и

t >> teq _ D , коэффициент стимулированной полем диффузии и под-

вижность близки к своим квазиравновесным значениям (4.12а) и (4.12б), соответственно.

Использование уравнений (1.2.31) и (4.23) приводит к следующему аналогу известного соотношения Эйнштейна между зависящими от времени подвижностью и коэффициентом полной диффу-

зии D(t )= D0θ1 (t )+ DF (t ):

(4.25)

В пределе больших времён, t >> teq _ D , зависимость f(t) приближает-

ся к своему наибольшему значению f∞ , см. (4.14). Однако при анализе экспериментальных данных очень важно то обстоятельство, что в случае σkT ≥ 2.5 на длительном интервале времени, teq _ μ << t < teq _ D , коэффициент полевой диффузии продолжает воз-

растать, несмотря на то, что подвижность (и, следовательно, измеряемый во времяпролётных экспериментах электрический ток)

175

На рис. 4.3 сравниваются зависимости величины x −x2 / 2t ,

которая является аналогом коэффициента диффузии, от времени, согласно данным численного моделирования (см. рис. 1 работы [4:3]), и вычисленной согласно уравнениям (3.40), (4.23) временной

зависимостью DF (tt0 )Dmin . Обе зависимости хорошо согласуют-

ся друг с другом. Они проходят через минимальное значение, достигаемое в момент, близкий к teq _ μ , который, в свою очередь, ха-

177

рактеризуется тем, что μ(teq _ μ )μeq ≈ 2 (см. рис. 4.2). При меньших временах транспорт является дисперсионным. Значения teq _ μ и teq _ D , определённые по данным работы [4:3] и согласно уравнениям

(4.23), показаны на вставке сплошными и пунктирными стрелками, соответственно. Расчёты согласно предложенной модели дают значительно большее значение последнего времени, так же как и установившегося значения DF _ eq . Однако следует напомнить, что вы-

числения работы [4:3] не учитывали пространственного беспорядка. Именно случай сильного пространственного беспорядка и достаточно слабых полей наиболее труден для моделирования методом Монте-Карло вследствие резкого возрастания времени счёта

[1:14; 4:10].

4.3.4. Между квазиравновесным и дисперсионным режимами транспорта

Сам процесс переноса (транспорта) носителей заряда означает нарушение их термодинамического равновесия. Однако если равновесие нарушается только электрическим полем, то при не слишком высоких значениях напряжённости отклонения от равновесия малы. При этом подвижность и коэффициент диффузии постоянны, а транспорт принято называть квазиравновесным (также нормальным или гауссовским). Однако, как показано в разделе 4.3.1, при достаточно большом беспорядке и достаточно сильном поле, см. условие (4.10), неравновесность носителей заряда проявляется не только в самом факте переноса, но и в аномальном расплывании пакета носителей, хотя последнее и описывается постоянным коэффициентом диффузии. Эта «диффузия» (СПД) только формально подобна обычной диффузии. Она, естественно, не отменяет обычную диффузию, но «на фоне» СПД обычная диффузия незаметна. При анализе данных ВПМ и ПЭЛ данное явление (СПД) приводит к формальному нарушению соотношения Эйнштейна, поскольку оказывается, что Dμ >> kTe , и при этом отношение Dμ зависит

от напряжённости поля.

178

Таким образом, анализируя дисперсию носителей заряда, можно выделить две разновидности гауссовского (нормального) режима транспорта. При одной из них, для которой выполняется соотношение Эйнштейна, состояние носителей ближе к термодинамическому равновесию. Этот случай естественно назвать равновесным режимом транспорта (понимая, что полное термодинамическое равновесие отсутствует). Квазиравновесным режимом в дальнейшем будем называть случай, типичный для неупорядоченных материалов, когда полевая диффузия преобладает над обычной, то есть выполняется условие (4.10).

Надо напомнить, что при сильном отклонении начального энергетического распределения избыточных носителей заряда от термодинамического равновесия, их транспорт на начальном (после генерации) интервале времени будет сильно неравновесным (дисперсионным). В дальнейшем, в ходе термализации, произойдёт переход к гауссовскому режиму – или к равновесному, или к квазиравновесному, в зависимости от выполнения или нарушения условия (4.10). Однако переход от дисперсионного транспорта к гауссовскому происходит не мгновенно. Возникает вопрос о критерии такого перехода. Традиционно, характерным временем установления гауссовского режима считается установления квазиравновесной подвижности, т. е. время teq _ μ . Но в ряде случаев (например-

гауссовское распределение ловушек) время установления постоянного значения коэффициента СПД, teq _ D , может быть на много по-

рядков больше, чем teq _ μ . Это означает, что гауссовский режим на интервале времени teq _ μ t teq _ D ещё не установился, несмотря

на постоянство подвижности. Как видно из рис. 4.2, 4.3, коэффициент СПД продолжает возрастать на данном широком интервале

времени (при этом DF (kTe)μeq , см. рис. 4.2). Это обстоятель-

ство существенно влияет на характер зависимости параметра дисперсии сигнала времяпролётного тока W от напряжённости поля и толщины слоя, как показано в разделе 5.2. Именно время teq _ D сле-

дует считать временем установления квазиравновесного режима. Промежуточный (между дисперсионным и квазиравновесным)

179

поскольку он совмещает характерные признаки обоих режимов, как показано в разделе 5.2 на материале времяпролётных экспериментов.

Существование квазидисперсионного режима транспорта на длительном интервале времени связано с тем обстоятельством, что установление квазиравновесного энергетического распределения для наиболее глубокой фракции ловушек происходит значительно позже, чем для более мелких состояний, которые находятся вблизи максимума энергетического распределения локализованных носителей (они-то и определяют величину подвижности). Это обстоятельство иллюстрирует вставка к рис. 4.3. Характерные времена teq _ μ и teq _ D зависят от энергетического распределения ловушек.

Формально, это те времена, при которых демаркационный уровень Ed (t ) пересекает энергию максимума подынтегральной функции в

уравнениях (1.28) и (3.37) соответственно. Расчёты, проведённые для гауссовского распределения ЛС, показывают, что время teq _ μ

практически совпадает с моментом, когда разность между текущим значением средней энергии локализованных носителей и устано-

вившимся значением E = −σ2 kT (оно же энергия максимума

энергетического распределения локализованнх носителей) становится меньше kT . Время teq _ D близко к тому моменту, когда пере-

стаёт изменяться энергетическая дисперсия локализованных носителей (другими словами – дисперсия энергетического распределе-

ния заполненных ЛС ρocc (E)), то есть величина

(E −E)2

(усреднение выполняется с функцией ρocc (E)), достигнув квази-

равновесного значения σ, см. вставку к рис. 4.3. Именно к данной величине чувствителен коэффициент СПД, поскольку она определяет разброс темпов освобождения носителей с глубоких ловушек

180