Ітеративний підхід

Якщо прийняти , тоді початкове значення , .

. (2)

Наступне значення для a та b будуть:

. (3)

Обчислення суми ряду (1) переривається для (ряд буде спадним), коли:

. (4)

Обчислення суми ряду (1) переривається для . обмежуючись сумою перших N членів ряду

Рекурсивний підхід

З формули (1) зрозуміло, що S обмежуючись сумою перших N членів ряду можна подати як функцію від a та b– S(a, b)., тоді (2) трансформується в вираз:

, (5)

де – наступні значення для a та b, що визначаються за формулою (2).

Враховуючи (3), цю ж саму функцію можна визначити так:

(6)

Перший виклик цієї рекурсивної функції буде S(1,1). В результаті цього виклику буде отримане значення суми ряду.

Обчислення значення ланцюгового дробу

Окрім степеневих рядів, при обчисленні елементарних функцій на ЕОМ використовуються також ланцюгові дроби.

Ланцюговим, або неперервним, дробом називають вираз виду:

або .

Звичайно замість вище наведеного запису застосовують більш компактний, записуючи ланки ланцюгового дробу:

або .

Числа , , ... називають частковими чисельниками, а , , , ... - частковими знаменниками ланцюгового дробу.

Цей дріб може бути як скінченим (закінчується співвідношенням ), так і нескінченним (наведено у вище прикладі). Надалі будемо розглядати лише скінчений ланцюговий дріб.

Значення ланцюгового дробу С_і можна також визначити рекурентним співвідношенням:

. (6)

Розглянемо визначення значення такого дробу:

Ітеративний підхід

Для ітеративного визначення значення ланцюгового дробу необхідно обчислення розпочинати з останнього співвідношення. Отже, початкові значення .

Частковий знаменник кожного разу зменшується на 1, а частковий чисельник збільшується на 1.

Отже, для ,

, , .

Рекурсивний підхід

На відміну від ітеративного підходу рекурсивне обчислення ланцюгового дробу можна розпочати з першої пари часткових чисельника та знаменника. Отже, початковими значеннями будуть:

,

які кожного разу будуть зменшуватися(a) та збільшуватися(b) на 1.

З формули (6) зрозуміло, що С можна подати як функцію від a та b– С(a, b), тоді (6) трансформується в вираз:

(8)

де – наступні значення для a та b.

Враховуючи (8), цю ж саму функцію можна визначити так:

(5)

Перший виклик цієї рекурсивної функції буде S(x,1). В результаті цього виклику буде отримане значення дробу.

Чисельні методи визначення коренів нелінійних рівнянь

Чисельні методи визначення коренів нелінійних рівнянь дозволяють знайти корінь рівняння f(x)=0 на заданому проміжку [a, b] з певною похибкою розрахунку Е.

Вхідні дані:

E - точність обчислення;

a, b - границі інтервалу, в якому буде проводитись пошук кореня.

Вихідні дані: x – корінь рівняння.

Варіант 1: метод дихотомії

Ітеративний підхід

Обчислення значень ya=f(a) i yb=f(b).

Обчислення першого приблизного значення та y=f(x), де х - корінь рівняння.

Якщо ça-b ç< E, переходимо до п.7.

Якщо y i ya мають різні знаки, то корінь знаходиться в інтервалі [a, x]. Тоді b=х; переходимо до п. 1.

Якщо y i yb мають однакові знаки, то корінь знаходиться на інтервалі [x, b]. Тоді а=х; переходимо до п.1.

Друк результату.

Рекурсивний підхід

Функцію пошуку кореня можна подати як рекурсивну:

Варіант 2: метод січної (хорди)

Ітеративний підхід

1. Обчислення ya=f(a), yb=f(b)

2. Обчислення кореня х відбувається за формулою:

3. Якщо ça-bç< E , то виконується п.6.

4. Якщо y i ya мають різні знаки, то корінь знаходиться в інтервалі [a, x]. Тоді b=х; переходимо до п. 1.

5. Якщо y i yb мають однакові знаки, то корінь знаходиться на інтервалі [x, b]. Тоді а=х; переходимо до п.1.

6. Друк результату.

Рекурсивний підхід

Функцію пошуку кореня можна подати як рекурсивну:

Варіант 3: метод дотичної

Ітеративний підхід

1. Початкове значення х=0.

2. Якщо êf(x) ê< E, корінь знайдено, переходимо до п.4.

3. Обчислення наступного приблизного значення , де f‘(x) - похідна від f(x). Перехід до п.2.

4. Друк результату.

Рекурсивний підхід

Функцію пошуку кореня можна подати як рекурсивну:

Варіант 4: метод хорд–дотичних

Ітеративний підхід

1. Початкове значення х0=0, х=0.

2. Якщо êf(x) ê< E, корінь знайдено, переходимо до п.5.

3. Обчислення наступного приблизного значення , , перехід до п.2.

4. Друк результату.

Рекурсивний підхід

Функцію пошуку кореня можна подати як рекурсивну:

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Епанешников А.М., Епанешников В.А. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 – 3-е изд., стер. – М.: “Диалог-МИФИ”, 1997. – 288 с.

2. Марченко А.И., Марченко Л.А. Программирование в среде TurboPascal 7.0. – К.: ЮНИОР, 1997 – 496 с., ил.

3. Фаронов В.В. Тур,о Паскаль 7.0. Начальный курс. – М.: “Нолидж”, 1997- 616 с., ил.

* - матеріали цього підрозділу повністю взяті з [1]

86