- •Изучить необходимые теоретические сведения для выполнения задания по разделу методических указаний « Теоретические основы статистических методов обработки результатов измерений»;
- •Получить формулы для вычисления коэффициентов линейной приближающей функции;
- •Варианты заданий
- •Теоретические основы статистических методов обработки результатов измерений
- •1. Задача построения математической модели объекта
- •2. Задача построения приближающей функции Пусть в результате измерений в процессе проведения эксперимента получена таблица зависимости f :
- •Задачу построения математической модели объекта формулируют следующим образом: найти функцию заданного вида
- •Метод наименьших квадратов
- •Эта сумма является функцией ф (a, b, c ) трех переменных (параметров a, b, c ). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:
- •Естественно ожидать, что значения найденной функции φ ( X, a, b, c ) в точках x1, x2 , …, xn будут отличаться от табличных значений у1, y2, …, yn. Значения разностей
- •Виды приближающих функций
- •Пусть выбрана в качестве приближающей функция
- •Обозначим
- •3.2. Показательная функция Пусть выбрана в качестве приближающей показательная функция
- •3.3. Дробно-линейная функция Пусть приближающая функция имеет вид
- •3.4. Логарифмическая функция Пусть приближающая функция имеет вид
- •3.5. Гипербола Пусть приближающая функция имеет вид
- •3.6. Дробно-рациональная функция Пусть приближающая функция имеет вид
3.5. Гипербола Пусть приближающая функция имеет вид
φ ( x, a, b) = a / x + b . ( 18 )
Для перехода к линейной функции сделаем подстановку u = 1 / x.
Ф( u, a, b ) = a u + b. ( 19 )
Практически перед нахождением приближающей функции вида ( 18 ) значения аргумента в исходной таблице 1 следует заменить обратными числами и найти для новой таблицы приближающую функцию как линейную вида ( 19 ). Полученные значения параметров а и b подставить в формулу ( 18 ).
3.6. Дробно-рациональная функция Пусть приближающая функция имеет вид
F( x, a, b) = х / ( аx + b ). (20)
Имеем
1 / F( x, a, b) = a + b / x ,
так что задача сводится к случаю, рассмотренному в предыдущем разделе. Действительно, если в исходной таблице заменить значение x и y их обратными величинами по формулам z = 1 / x и u = 1 / y и искать для новой таблицы приближающую функцию вида u = b z + a, то найденные значения a и b будут искомыми для формулы ( 20).
Рекомендуемая литература:
Зварыкин В.М. и др. Численные методы. - М.: Просвещение, 1990. - 176 с.
Статистическая обработка результатов экспериментов на микро-ЭВМ и программируемых калькуляторах/ А.А.Костылев, П.В.Миляев и др.: Л.: Энергоатомиздат, 1991. – 304 с.
Кринецкий И.И. Основы научных исследований. – Киев-Одесса: Вища школа, 1981. – 208 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Высшая школа»,1977. – 479 с.