2. Задача построения приближающей функции Пусть в результате измерений в процессе проведения эксперимента получена таблица зависимости f :

Таблица 1

x	x1	x2	. . .	xn
f( x )	y1	y2	. . .	yn

Задачу построения математической модели объекта формулируют следующим образом: найти функцию заданного вида

y = φ(x) , ( 2 )

которая в точках x₁, x₂ , …, x_n принимает значения как можно более близкие к табличным значениям функции у₁, y₂, …, y_{n .}

Формулу (2) называют приближающей функцией или уравнением регрессии y на x. Она интересна тем, что позволяет на основе данных, содержащих случайную составляющую, описать основные закономерности исследуемого объекта. Эмпирическая формула как бы “сглаживает” результаты измерений. Кроме того, она позволяет находить значение отклика для любых значений входа x .

Метод наименьших квадратов

Наиболее распространенный способ нахождения приближающей функции – метод наименьших квадратов, разработанный К.Гауссом в XIX веке.(21 ).

Предположим, что приближающая функция y = φ(x) в точках

x₁, x₂ , …, x_n ( 3 )

имеет значения

y ₁, y₂, …, y_n. ( 4 )

Требование близости табличных значений у₁, y₂,…,y_n и значений ( 4 ) можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений функции f из таблицы 1 и совокупность (4) как координаты двух точек n-мерного пространства. С учетом этого задача приближения функции может быть переформулирована следующим образом: найти такую функцию φ(x) заданного вида, чтобы расстояние между точками М(у₁, y₂, …, y_n ) и М(y ₁, y₂, …, y_n ) было наименьшим. Воспользовавшись метрикой эвклидового пространства, приходим к требованию, чтобы величина

( y₁ – y₁ )² + ( y₂ – y₂ )² + … + ( y_n – y_n )²

была наименьшей, что равносильно следующему: сумма квадратов

( y₁ – y₁ )² + ( y₂ – y₂ )² + … + ( y_n – y_n )² ( 5 )

должна быть наименьшей.

Итак, задача приближения функции f теперь формулируется следующим образом: для функции f, заданной таблицей 1, найти функцию φ(x) определенного вида так, чтобы сумма квадратов (4) была наименьшей. Эта задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f могут быть использованы различные функции с различным числом параметров.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с тремя параметрами:

y = φ ( x, a, b, c ). ( 6 )

Итак , имеем: φ ( x_i, a, b, c ) = y_i , i = 1, 2, …, n . Сумма квадратов разностей соответствующих значений функции f и φ будет иметь вид:

_n

∑ [y_i - φ ( x_i, a, b, c )] ² = Ф ( a, b, c ) .

^{i = 1}