- •Изучить необходимые теоретические сведения для выполнения задания по разделу методических указаний « Теоретические основы статистических методов обработки результатов измерений»;
- •Получить формулы для вычисления коэффициентов линейной приближающей функции;
- •Варианты заданий
- •Теоретические основы статистических методов обработки результатов измерений
- •1. Задача построения математической модели объекта
- •2. Задача построения приближающей функции Пусть в результате измерений в процессе проведения эксперимента получена таблица зависимости f :
- •Задачу построения математической модели объекта формулируют следующим образом: найти функцию заданного вида
- •Метод наименьших квадратов
- •Эта сумма является функцией ф (a, b, c ) трех переменных (параметров a, b, c ). Задача сводится к отысканию ее минимума. Используем необходимое условие экстремума:
- •Естественно ожидать, что значения найденной функции φ ( X, a, b, c ) в точках x1, x2 , …, xn будут отличаться от табличных значений у1, y2, …, yn. Значения разностей
- •Виды приближающих функций
- •Пусть выбрана в качестве приближающей функция
- •Обозначим
- •3.2. Показательная функция Пусть выбрана в качестве приближающей показательная функция
- •3.3. Дробно-линейная функция Пусть приближающая функция имеет вид
- •3.4. Логарифмическая функция Пусть приближающая функция имеет вид
- •3.5. Гипербола Пусть приближающая функция имеет вид
- •3.6. Дробно-рациональная функция Пусть приближающая функция имеет вид
Пусть выбрана в качестве приближающей функция
φ ( x, a, b) = axb . ( 9 )
Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство ( 9 ) при условии а > 0:
ln φ = ln a + b ln x. ( 10 )
Так как функция F является приближающей для функции f, функция ln φ будет приближающей для ln f. Введем новую переменную u = ln x; тогда, как следует из ( 10 ), ln φ будет функцией от u: Ф( u ).
Обозначим
b = A, ln a = B. ( 11 )
Теперь равенство ( 10 ) принимает вид:
Ф( u, A, B ) = A u + B, ( 12 )
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо выполнить следующее:
по заданной таблице 1 составить новую таблицу, прологарфмировав значения x и y в исходной таблице;
по новой таблице найти параметры А и В приближающей функции вида (12);
используя обозначения ( 11 ), найти значения параметров a и b и подставить их в выражение ( 9 ).
3.2. Показательная функция Пусть выбрана в качестве приближающей показательная функция
φ ( x, a, b) = a ebx , а > 0. ( 13 )
Прологарифмируем равенство ( 13 ):
ln φ = ln a + b x. ( 14 )
Приняв обозначения ( 11 ), перепишем ( 14 ) в виде
ln φ = В + А x. ( 15 )
Таким образом, для нахождения приближающей функции в виде ( 13 ) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 1 и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы приближающую функцию вида ( 14 ). Вслед за этим в соответствии с обозначениями ( 11 ) остается получить значения искомых параметров а и b и подставить их в формулу ( 13 ).
3.3. Дробно-линейная функция Пусть приближающая функция имеет вид
φ ( x, a, b) = 1/(ax + b). ( 16 )
Равентво ( 16 ) перепишем следующим образом:
1/ φ ( x, a, b) = ax + b.
Из последнего равенства следует, что для нахождения значений параметров а и b по заданной таблице 1 нужно составить новую таблицу, в которой значения аргумента остаются прежними, а значения функции заменяются обратными числами. Для полученной таким образом таблицы находится приближающая функция вида a x + b. Значения параметров а и b этой функции подставляются затем в формулу ( 16 ).
3.4. Логарифмическая функция Пусть приближающая функция имеет вид
φ ( x, a, b) = a ∙ ln x + b . ( 17 )
Легко видеть, что для перехода к линейной функции достаточно сделать подстановку ln x = u. Отсюда следует, что для нахождения значений а и b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 1 и, рассматривая полученные значения в совокупности с исходными значенями функции, найти для полученной таким образом новой таблицы приближающую функцию в виде линейной. Коэффициенты а и b найденной функции подставить в формулу ( 17 ).