Методические указания к контрольной работе по дисциплине

" Статистические методы обработки результатов измерений"

для студентов заочной формы обучения

по специальности «Метрология и измерительная техника»

Тема КР: Построение математических моделей однофакторных объектов по результатам измерений.

Цели РГР:

• закрепление теоретических положений, изучаемых в дисциплине;

• освоение процедур построения математического описания однофакторных объектов по результатам экспериментов с использованием метода наименьших квадратов (МНК);

• ознакомление с методикой оценки качества получаемых моделей.

Содержание КР:

1. Изучить необходимые теоретические сведения для выполнения задания по разделу методических указаний « Теоретические основы статистических методов обработки результатов измерений»;

2. Получить формулы для вычисления коэффициентов линейной приближающей функции;

3. По заданным результатам измерений входа и выхода объекта построить две приближающие функции : линейную и логарифмическую.

4. Для каждой приближающей функции вычислить сумму квадратов отклонений и определить величину стандартного отклонения.

5. Каждую из полученных приближающих функций отобразить на отдельном графике и построить получаемые модели (трубки). Отобразив на графике также точки, представляющие эмпирическую зависимость y = f(x),.

6. С помощью графиков оценить адекватность полученных моделей.

Контрольная работа должна содержать следующие разделы:

1. Постановка задачи;

2. Краткое описание метода наименьших квадратов и вывод формул для расчета коэффициентов линейной приближающей функции.

3. Построение приближающих функций заданного вида и вычисление стандартного отклонения для каждой из функций;

4. Оценка адекватности полученных моделей с помощью графического представления моделей.

5. Выводы по работе.

Варианты заданий

№ вар.	xi	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
0	f(xi)	0.45	1.51	1.54	2.01	2.10
1	f(xi)	0.56	1.87	2.12	1.37	2.49
2	f(xi)	0.93	2.19	2.07	2.18	2.90
3	f(xi)	0.63	1.23	2.02	2.08	2.78
4	f(xi)	1.68	1.73	1.85	2.78	1.45
5	f(xi)	0.75	1.47	2.48	2.11	2.02
6	f(xi)	0.75	1.47	2.48	2.11	2.02
7	f(xi)	1.28	0.94	2.44	2.62	2.47
8	f(xi)	0.45	1.51	1.54	2.01	2.10
9	f(xi)	0.56	1.87	2.12	1.37	2.49

Теоретические основы статистических методов обработки результатов измерений

1. Задача построения математической модели объекта

Одной из основных задач измерений является получение информации о свойствах объекта. При этом сам объект представляется моделью черного ящика, простейший вариант которой представлен на рис.1. Сбор информации об объекте заключается в измерении значений физических переменных, представляющих входы и выходы объекта. На основе такой информации строится математическая модель объекта, как описание оператора F(x), определяющего связь между входами и выходами объекта.

Рисунок 1 – Представление объекта моделью «черного ящика»

Если результаты измерений, т.е пары значений (x_i,y_i) представить точками на координатной плоскости x0y, то можно увидеть, что эти точки образуют некоторую полосу («трубку»), которая графически представляет оператор F(x). Такая картина физически объясняется тем, что на объект, кроме выделенной величины x, представленной в модели входом объекта, на него воздействую и другие, неизвестные и/или неизмеряемые величины, также оказывающие влияние на выход объекта. Поэтому величина y, представляющая выход объекта в модели должна рассматриваться как случайная величина.

С учетом этого обстоятельства математическая модель объекта - это описание «трубки», представляющей оператор F(x). Поскольку границы трубки размыты, то математическая модель объекта строится как совокупность двух компонентов:

- приближающей функции φ(x), которая представляет собой приближенное представление зависимости математического ожидания величины у (m_y) от величины x. Вид приближающей функции выбирается экспериментатором, а коэффициенты функции определяются с помощью метода наименьших квадратов;

- стандартного отклонения s, которое является приближенным значением (оценкой) среднего квадратического отклонения σ_у случайной величины у . При этом предполагается, что значение σ_у остается неизменным во всем диапазоне значений входной переменной (фактора) x.

Стандартное отклонение s, определяется после получения приближающей функции φ(x) следующим образом:

_n

s = Σ (φ(x_i) –y_i)² / (n-1) (1)

^{i =1}

где φ(x_i) –значение приближающей функции в точке x_i, в которой измерено значение выхода y_i;

y_i - измеренное значение выхода в точке x_i;

n – количество точек , в которых проводились измерения проведенных измерений.

Совокупность указанных двух компонентов модели позволяют представить оператор F(x) в виде теоретической трубки, центр которой определяет приближающая функция φ(x), а границы которой для заданной доверительной вероятности p_дов = 0.95 , представяют собою параллельные линии, проходящие выше и ниже центра трубки на расстоянии 2s. Построенная таким образом теоретическая трубка включает и представляет собой модель объекта – сетематическое описание оператора F(x).

Представление модели в виде теоретической трубки основано на априорных предположениях о виде приближающей функции, о нормальности распределении y и постоянстве ее дисперсии σ_у. Поэтому полученная модель нуждается в проверке ее соответствия полученным при измерениях данным. Это соответствие определяют понятием адекватности модели. Указанное свойство модели может быть оценено теоретически.

В простейшем случае адекватность модели устанавливается путем сопоставления теоретической трубки и точек, представляющих результаты измерений, на графике. Модель считается адекватной, если не менее 95% точек, соответствующих результатам измерений попадают внутрь теоретической трубки.