2.2. Однотональная модуляция

Простейшая форма модулированного сигнала создается при однотональной амплитудной модуляции – модуляции несущего сигнала гармоническим колебанием с одной частотой :

u(t) = U_m[1+Mcos(t)]cos(_ot). (3)

Значения начальных фазовых углов несущего и модулирующего колебания здесь и в дальнейшем, если это не имеет принципиального значения, для упрощения получаемых выражений будем принимать равными нулю. С учетом формулы cos(x)cos(y) = (1/2)[cos(x+y)+cos(x-y)] из выражения (3) получаем:

u(t) = U_mcos(_ot) +(U_mM/2)cos[(_o+)t]+(U_mM/2)cos[(_o-)t]. (4)

Отсюда следует, что модулирующее колебание с частотой  перемещается в область частоты _o и расщепляется на два колебания, симметричные относительно частоты _o, с частотами соответственно (_o+верхняя боковая частота, и (_o-нижняя боковая частота (рис. 4 для сигнала, приведенного на рис. 1). Амплитуды колебаний на боковых частотах равны друг другу, и при 100%-ной модуляции равны половине амплитуды колебаний несущей частоты. Если получить уравнение (4) с учетом начальных фаз несущей и модулирующей частоты, то правило изменения фаз аналогично изменению частоты: начальная фаза модулирующего колебания для верхней боковой частоты складывается с начальной фазой несущей, для нижней – вычитаются из фазы несущей. Физическая ширина спектра модулированного сигнала в два раза больше ширины спектра сигнала модуляции.

2.3. Энергия однотонального ам-сигнала

Обозначим раздельными индексами (нес- несущая, вб- верхняя боковая, нб- нижняя боковая) составляющие колебания однотонального АМ - сигнала (4) и определим функцию его мгновенной мощности:

u(t) = u_нес(t) + u_вб(t) + u_нб(t).

p(t)=u²_нес(t)+u²_вб(t)+u²_нб(t)+2u_нес(t)u_вб(t)+2u_нес(t)u_нб(t)+2u_вб(t)u_нб(t). (5)

Все взаимные мощности модулированного сигнала при усреднении становятся равными нулю, при этом:

P_u = Р_нес + Р_вб + Р_нб = U_m²/2 + (U_mM)²/4. (6)

Доля мощности боковых частот в единицах мощности несущей частоты:

(Р_вб + Р_нб)/Р_нес = М²/2, (7)

т.е. не превышает 50% даже при 100%-ной модуляции.

Под полезной мощностью модулированных сигналов понимают мощность, несущую информацию, т.е. в данном случае мощность боковых частот. Коэффициент полезного действия данного типа модуляции определяется отношением мощности боковых частот к общей средней мощности модулированного сигнала:

_АМ = (U_m² M²/4) /P_u = M²/(М²+2). (8)

Как видно из рис. 5, даже при М=1 КПД АМ составляет только 33%, а при практическом использовании меньше 20%.

Рис. 5

Для модулированных сигналов применяют также понятие пиковой мощности P_max. Значение пиковой мощности для однотонального АМ сигнала:

P_max = U_m² (1+M)².

2.4. Многотональный модулирующий сигнал.

Сигнал этого типа имеет произвольный спектральный состав. Математическая модель такого сигнала, в том числе непрерывного по частоте, может быть аппроксимирована тригонометрической суммой, в пределе бесконечной:

s(t) = a_n cos(_nt+_n), (9)

где значения амплитуд a_n и начальных фаз _n возрастающей последовательности гармоник _n произвольны. Подставляя (9) в (2) и заменяя произведения M·a_n парциальными (частичными) коэффициентами модуляции M_n = M·a_n, получим обобщенное уравнение АМ сигнала и его физического спектра:

u(t) = U_m[1+ М_ncos(_nt+_n)]cos(_ot+_o). (10)

u(t) = U_mcos(_ot+_o) + (U_m/2) M_ncos[(_o+_n)t_o_n] +

+ (U_m/2) M_ncos[(_o-_n)t+_o_n]. (11)

На рис. 6 приведен пример амплитудных спектров модулирующего и АМ сигналов при многотональной модуляции.

Рис. 6

Такой сигнал также содержит полосы верхних и нижних боковых частот относительно несущей частоты _o, являющихся прямой и зеркальной масштабными копиями модулирующего сигнала. Соответственно, полная ширина спектра АМ сигнала равна удвоенной ширине спектра модулирующего сигнала.