§4. Алгебраические операции. Основные типы алгебраических структур

Алгебра − наука об алгебраических операциях. Свойства множеств с алгебраическими операциями изучаются в этом параграфе.

1°. Алгебраические операции.

Пусть X − произвольное множество.

Определение 1. -арной алгебраической операцией на X называется отображение . То есть – компонентному элементу однозначно ставится в соответствие элемент.

Задача. Пусть . Сколькоn–арных алгебраических операций на ?Ответ. Таких операций

Алгебраические операции при называютсяунарными, при –бинарными, –тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции.

Если , то пишутили. Операции наX обозначают символами . Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения.

Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой.

На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры.

Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур).

1. (R, +) − алгебраическая структура, и R имеем

2. (R, -) − алгебраическая структура.

3. (R, ) − алгебраическая структура.

4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на (R).

5–8. То же самое для С.

9. (Rⁿ, +) − алгебраическая структура.

10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, так как результатом операции является число.

11. – множество всех отображенийотносительно операции композицииявляется алгебраической структурой.

12. Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую (символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде

2 1	Д	О	Т
Д	Д	О	Д
О	О	Д	Т
Т	Т	Т	Д

13. Примерами тернарных операций на R³ R R R являются:

1. .

2. .

3. .

Обычно рассматривают операции со специальными свойствами.

Определение 3. Бинарная операция наX называется коммутативной, если выполняется; ассоциативной, если выполняется.

Замечание. Если (то есть множество– конечное) и− коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.

Задача. Пусть . Сколькокоммутативных бинарных операций наX? Ответ. Таких операций .

Примеры.

1. В (R, +) операция сложения коммутативна и ассоциативна.

2. В (R, -) операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, ,.

3. (R,), где, такая операциякоммутативна, но не ассоциативна. Действительно:.

4. Умножение матриц является ассоциативной, но не коммутативной операцией.

Теорема 1 (обобщённая ассоциативность). Если операция ассоциативна, то в выражениискобки можно расставлять в любых местах.

Доказательство. Проводится методом математической индукции. Для утверждение повторяет определение ассоциативности. Пусть . Рассмотрим выражения

и ,

в которых выписаны лишь внешние скобки. Пустьв силу предположения индукции эти выражения можно переписать в виде

и

,

или

и

которые равны в силу определения ассоциативности. ■

Определение 4. Элемент называетсянейтральным относительно алгебраической операции , если

.

(1)

Теорема 2. Нейтральный элемент единственен.

Доказательство. (от противного). Пустьи­− два нейтральных элемента

(по условию нейтральности ) и

(по условию нейтральности )

.■

Определение 5. Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называетсяполугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.

Определение 6. Элемент моноиданазываетсясимметричным к элементу , если

(2)

Теорема 3. Если в моноиде для есть симметричный элемент, то такой элемент единственен.

Доказательство. Пусть для данного два симметричных элемента и Тогда в силу (1) и (2) имеем:

.■

Обычно умножение называют мультипликативной операцией, сложение – аддитивной. В случае мультипликативной операции результат операции называютпроизведением, нейтральный элемент – единицей (обозначают 1), симметричный элемент к –обратным (пишут ). В случае аддитивной операции результат операцииназываютсуммой (), нейтральный – нулём (обозначают 0), симметричный – противоположным (обозначают ).

Теорема 4. Если в моноиде для элементовиесть симметричные элементыисоответственно, то для элементатакже существует симметричный элемент, равный

Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо проверить условия (2): Проверим первое из этих равенств. Имеем:

Аналогично проверяется второе условие из (2).■