Актуарная математика

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………… 5

1. Практическое занятие №1. Простые проценты……………. 6

1.1Цель занятия……………………………………………………... 6

1.2Задачи занятия…………………………………………………... 6

1.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета…… 6

1.4Решение типовых заданий……………………………………… 10

1.5Задания для самостоятельного решения………………………. 12

2. Практическое занятие №2. Сложные проценты……………. 15

2.1Цель занятия……………………………………………………... 15

2.2Задачи занятия…………………………………………………... 15

2.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета…… 15

2.4Решение типовых заданий……………………………………… 23

2.5Задания для самостоятельного решения………………………. 28

3.1Цель занятия……………………………………………………... 30

3.2Задачи занятия…………………………………………………... 30

3.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета…… 30

3.4Решение типовых заданий……………………………………… 35

3.5Задания для самостоятельного решения………………………. 36

4.1Цель занятия……………………………………………………... 38

4.2Задачи занятия…………………………………………………... 38

4.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета…… 38

4.4Решение типовых заданий……………………………………… 43

4.5Задания для самостоятельного решения………………………. 47

3

6. Практическое занятие №6. Учет инфляции…………………. 62

4

ВВЕДЕНИЕ

Впоследние годы в связи с постепенным становлением рыночных отношений в экономике России появилась потребность в распространении количественных методов оценки финансовых операций. Причины этого очевидны: появление самостоятельных коммерческих предприятий, становление рынка капитала, коренное изменение сущности и роли банковской системы. Многие решения финансового характера нецелесообразно принимать на интуитивном уровне, гораздо более качественные результаты могут быть достигнуты, если воспользоваться формализованными методами оценки.

Практикум содержит описание восьми практических работ, причем последовательность работ соответствует переходу от простого к сложному.

Впервых двух практических работах рассматриваются основные понятия, такие как простые и сложные проценты, наращение, дисконтирование и т.д.

Практические занятия 3-5 посвящены количественному анализу разнообразных финансовых потоков платежей. Здесь показано, каким образом схемы начисления процентов используются для оценки денежных потоков.

На практических занятиях 6-8 предлагается рассмотрение некоторых приложений финансовых расчетов, а именно: учет инфляционного фактора; оценка целесообразности инвестиций в облигации и акции.

Вприложении представлены комментарии и рекомендации по применению стандартного пакета программ MS Excel, в частности раздела «Финансовые функции».

Также приведен список литературы, изучение которой поможет при изучении данной дисциплины.

5

1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1.1 Цель занятия

Овладеть методикой наращения и дисконтирования по схеме простых процентов.

1.2 Задачи занятия

Выработать навыки применения банковского и математического дисконтирования, наращения по простой процентной ставке и простой учетной ставке, определения эквивалентных простых ставок.

1.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета

Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность – r. Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Pr. Таким образом, размер инвестированного капитала F через n лет

Это выражение называется формулой наращения по простым процентам, а множитель (1+nr) – множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов. При этом приращения капитала:

(1.2)

Размерности n и r должны быть согласованы (и то и другое в годах, кварталах и т.д.). С этих позиций наращение по простым процентам, когда п не равна целому числу лет:

где t – продолжительность финансовой операции в днях; Т – количество дней в году.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему равна продолжительность года (квартала, месяца) выделяют:

-точные проценты, определяемые исходя из точного числе дней в году (365 или 366), в квартале (89-92), в месяце (28-31);

-обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году (360), квартале (90), месяце (30).

Таким образом, расчет может выполняться по одному из трех способов

6

-обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначается как 360/360;

-обыкновенные проценты с точным числом дней (360/365);

-точные проценты с точным числом дней (365/365). Обыкновенные проценты применяются в операциях с векселя-

ми. Точные проценты используются в официальных методиках ЦБ и мин. фин. РФ для расчета доходности по государственным обязательствам.

Переменные ставки и реинвестирование.

В соглашении может быть оговорена плавающая процентная ставка, когда фиксируется не сама ставка, а изменяющаяся во времени ее база и маржа – величина надбавки к базе. Величина маржи в течение срока сделки может быть как постоянной, так и переменной.

Пусть на период nk установлена процентная ставка ik . Тогда приращение капитала за этот период равно величине Pnk ik . Если таких

периодов т (т.е. k=1, 2, …, m), то наращенная сумма определяется по формуле

m

F P Pn1i1 Pn2i2 ... Pnmim P(1 n1i1 n2i2 ... nmim ) P(1 nkik ) . (1.4)

k 1

Пусть опять на период nk установлена процентная ставка ik , но в

определенный момент времени, когда срок договора еще не истек, наращенная к этому моменту времени сумма вкладывается вновь под новый простой процент. Такая финансовая операция называется реинвестированием или капитализацией полученных на каждом этапе наращения средств.

Предположим, что период n1 предшествует периоду n2 , который предшествует периоду n3 и т.д. Тогда через время n1 наращенная сумма станет равной величине F1 P(1 n1i1) , после чего будет переоформлена на следующей срок (длительностью n2 ). Через время n2 наращенная сумма станет равна

k 1

m

F Fm Fm 1(1 nmim ) P(1 n1i1)(1 n2i2 ) ... (1 nmim ) P (1 nkik ) . (1.6)

k 1

Часто необходимо решить задачу, обратную к задаче нахождения наращенной суммы. Например, по заданной сумме F, которую предполагают получить через время t, требуется определить величину капитала Р, который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы при постоянной ставке получить сумму F. Такое движение от

7

будущего к настоящему носит название дисконтирования. Капитал Р, найденный с помощью дисконтирования суммы F, называется приведенной (современной, текущей) стоимостью.

При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через п лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна F.

при операции учета векселей банком. Владелец векселя на сумму F (сумма к погашению) предлагает банку купить вексель раньше срока его оплаты. Такая покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. Дисконт ( Dd ) в этом случае представляет собой проценты, начисленные за

время (п) от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму (F), подлежащую уплате в конце срока. Если объявленная банком

здесь (1 nd ) - дисконтный множитель или коэффициент дисконтирования.

Правая часть равенства (1.9) должна быть всегда неотрицательной, следовательно 1 nd 0 , что равносильно n d1 . Таким образом,

если при достаточно большой учетной ставке d попытаться учесть вексель задолго до срока платежа, то можно вообще ничего не получить. Например, если (учетная ставка в 50%), то должно быть n 2 , т.е. учитывать вексель можно не более чем за два года до срока платежа.

Наращение по учетной ставке Рассмотрим задачу, обратную банковскому дисконтированию.

Пусть от учета капитала F по учетной ставке d за время n была полу-

8

1.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Клиент поместил в банк 35 тыс.руб. под 14% годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму он будет получать каждый месяц.

Решение.

п 121 , то I Pnr 35 121 0,14 0,4083 тыс.руб.

Задача 2.

Ссуда в размере 60 тыс. руб. представлена 12 марта с погашением 15 августа того же года под процентную ставку 22% годовых. Начисляются простые проценты и год високосный. Рассчитать различными способами сумму к погашению.

Решение.

Точное число дней=156. Приближенное число 18 дней марта (30-12) +120 дней (по 30 дней 4 месяца) +15 дней августа =153 дня.

Точные проценты и точное число дней ссуды:

F P(1 Tt r) 60 (1 156366 0,22) 65,626 тыс.руб.

Обыкновенные проценты и точное число дней:

F 60 (1 153366 0,22) 65,72 тыс.руб.

Обыкновенные проценты и приближенное число дней:

F 60 (1 153360 0,22) 65,518 тыс.руб.

Задача 3.

Клиент поместил в банк 16 тыс.руб. на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка равна 8% годовых, каждый последующий квартал ставка повышается на 1%. Найти наращенную сумму за год, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. При какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму?

Решение.

F 16(1 0,5 0,08 0,25 0,09 0,25 0,10) 17,4 тыс.руб.

Такую же сумму можно получить, если простые проценты начисляются за один год по ставке

10

Задача 4.

Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым процентам процентной ставке 25%. Чему равен дисконт.

Решение.

Дисконт Dr F P 24 16 8

Задача 5.

27 декабря будет нужна сумма 15 тыс.руб. Какую сумму 10 июня (200 дней) этого же года необходимо положить в банк под простую процентную ставку 16% годовых, если в расчете применяется точный процент с точным числом дней в году.

Решение.

Задача 6.

В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс.руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, используя способ 365/360. Определить сумму, которую получит векселедержатель от банка.

Решение.

P F Fnd F(1 nd ) 14(1 36065 0,4) 12,989 тыс.руб.

Дисконт, полученный банком=14-12,989=1,011 тыс.руб.

Задача 7.

За вексель, учтенный за 3 года по учетной ставке 24% годовых, заплачено 4 тыс. руб. Определить номинальную величину векселя.

Решение.

11

Задача 8.

Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 30% годовых, при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.

Решение.

печивает за год такое же наращение простыми процентами как и процентная ставка 30% годовых.

п150 d 0.3 0,2672 366 1 150366 0,3

1.5Задания для самостоятельного решения

1.Клиент поместил в банк вклад в сумме 4,5 тыс. руб. под 8% годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый квартал? Как изменится сумма при выплате простых процентов каждый месяц?

2.Клиент поместил в банк вклад 6 тыс. руб. под простую процентную ставку 10% годовых. Какая сумма будет на счете клиента через: а) 7 месяцев; б) 3 года; в) 3 года 9 месяцев?

3.В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 24 тыс. руб. через 180 дней при взятом кредите в 20 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.

4.Банк выдал ссуду на 45 дней в размере 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 13% годовых. Рассчитайте доход банка, если при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

5.Имеются две денежные суммы, одна из которых больше другой на 2 тыс. руб. Обе суммы помещаются в банк под простые проценты, причем большая сумма - на 9 месяцев под 13% годовых, а меньшая - на 4 месяца под 12,5% годовых. Начисленные проценты за большую сумму в 3 раза больше начисленных процентов за меньшую сумму. Найдите размеры первоначальных денежных сумм.

12