Актуарная математика

Предположим для простоты, что п делится нацело на и, тогда число поступлений денежных сумм un .

Если начисление процентов т раз в течение базового периода,

тогда

При начислении непрерывных процентов

4.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Сдавая в аренду участок, необходимо выбрать один из вариантов оплаты аренды: а) 300 тыс.руб. в конце каждого года; б) 2 млн. 400 тыс.руб. в конце шестилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 10% годовых по вкладам, проценты начисляются ежеквартально? При какой оплате в конце каждого года оба варианта практически эквивалентны?

Решение.

Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм на условиях 10% годовых.

Наращенная сумма аннуитета по первому варианту равна 2 млн. 337 тыс. 68 руб. Согласно второму варианту оплаты можно получить единовременно 2 млн. 400 тыс. руб., значит этот вариант выгоднее.

43

Для определения величины оплаты в конце каждого года, при которой оба варианта эквивалентны

Задача 2.

Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 65 лет) фирма обязуется перечислить в конце каждого полугодия в течение 25 лет на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику дополнительную пенсию в конце каждого месяца в размере 8000 руб. в течение 18 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 8%, проценты начисляются ежеквартально.

Решение.

Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с А=8000 руб., п=18 лет, p=12, m =4, r = 0,08, следовательно приведенная сумма на момент выхода работника на пенсию определяется:

Эта же сумма должна быть накоплена за 25 лет на счете в банке, то есть является наращенной суммой для аннуитета постнумерандо n= 25, p= 2, m =4, r = 0,08

Если компания в течении 25 лет каждые полгода будет перечислять на счет работника по 5936,893 рублей, то накопленных средств

44

будет достаточно, чтобы выплачивать работнику каждый месяц на протяжении 18 лет по 8000 рублей.

Задача 3.

В течение 4 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 100 тыс.руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется а) ежегодно; б) ежемесячно.

Решение.

а) n=4, m=1, r=15%. Поскольку платежи поступают достаточно часто можно предположить, что они поступают непрерывно, тогда при А 100 тыс.р.

Но можно предположить, что имеем р-срочный аннуитет постнумерандо и р=360, А=100/360

Задача 4.

Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, что обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 800 тыс.руб., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 6%; б) еже-

45

квартально сложные проценты по ставке 6%; в) непрерывные проценты с силой роста 6%.

Решение.

Денежный поток во всех случаях является бессрочным аннуитетом постнумерандо, причем А=800 тыс.руб. необходимо найти приведенную стоимость этого аннуитета.

а) r=0,06 p=m=1

Задача 5.

Работник заключает с фирмой контракт на 14 лет, согласно которому помимо ежемесячной заработной платы на счет работника в банке в конце каждого двух летнего периода будет поступать премиальная сумма в размере 80 тыс.руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут начисляться: а)ежегодные сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 12%; б) ежеквартальные сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 12%; в) непрерывные проценты с силой роста 12% в год.

Решение.

Денежные поступления образуют постоянный аннуитет постнумерандо с А =80 тыс.руб., сроком п=14 лет и периодом и=2 года.

а) r=12% т=1

тыс.руб.

б) т=4

тыс.руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать долг нужно равными суммами в конце каждого второго года и выплатить весь долг за 10 лет. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.

Решение.

Обозначим через А величину каждого искомого платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для ко-

Платеж в 567147 руб., сделанный в конце второго года, состоит из двух частей: сложных процентов за два года 900000((1+0,25)2-

1)=506250 руб. и погашаемой части долга 567147 – 506250=60897 руб.

В следующие два года расчет будет аналогичным, но размер кредита, которым пользуется предприниматель будет меньше и составит

900000-60897=839103 руб.

План погашения долга представлен в таблице Таблица – План погашения долга

4.5Задания для самостоятельного решения

1.Для создания фонда фирма вкладывает ежегодно в банк по 24 тыс. руб. под годовую номинальную процентную ставку 12%. Определите сумму, которая будет накоплена в фонде через 8 лет, если: а)

47

взносы делаются в конце года, а сложные проценты начисляются по полугодиям; б) взносы делаются равными долями в конце каждого месяца (т.е. по 2 тыс. руб.), а сложные проценты начисляются ежеквартально; в) взносы делаются равными долями в конце каждого квартала (т.е. по 6 тыс. руб.) и начисляются непрерывные проценты.

2.Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой 4 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются ежеквартально. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 4 года; в) через 5,5 года, а сложная процентная ставка равна 10% годовых?

3.Клиент хочет накопить на своем счете 800 тыс. руб., осуществляя в конце каждого квартала равные вклады в банк под сложную процентную ставку 9% годовых с полугодовым начислением. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы клиент мог накопить требуемую сумму за: а) 5 лет; б) 10 лет?

4.На ежеквартальные взносы в банк в размере 10 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет сложные проценты по номинальной процентной ставке 14% годовых: а) раз в год; б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?

5.Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 400 тыс. руб.

Сэтой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 80 тыс. руб. в банк под 12% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.

6.Клиент положил в банк 20 тыс. руб., намереваясь снимать со счета в конце каждого года 5,5 тыс. руб. Как долго клиент сможет снимать деньги со счета, если банк начисляет сложные проценты по ставке 14% годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно?

7.У молодого человека 24 лет появилась возможность окончить годичный курс обучения стоимостью 200 тыс. руб. и занять более высокую должность. Насколько выше должна быть заработная плата в новой должности, чтобы молодой человек счел обучение целесообразным, если в настоящее время его годовая заработная плата составляет 132 тыс. руб. и он считает приемлемой для себя норму отдачи на вложения 16% годовых? В новой должности молодой человек собирается работать до выхода на пенсию, т.е. 40 лет. Как изменится ответ, если такую возможность обучения обдумывает мужчина 54 лет?

8.Перед выходом на пенсию господин N хочет обеспечить себе дополнительный ежегодный доход в сумме 160 тыс. руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен поместить в банк, начисляю-

48

щий сложные проценты по ставке 8% годовых с ежеквартальным начислением?

9.Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 4 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 18 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 11% годовых

сначислением сложных процентов: а) ежегодно; б) ежеквартально?

10.Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение четырех лет, получая ежегодно выручку в размере 40 млн руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется: а) сложная процентная ставка 12% годовых; б) непрерывная ставка 12% за год.

11.В течение 3 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 150 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу третьего года при использовании процентной ставки 6% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) по полугодиям; б) ежемесячно.

12.Страховая компания, заключив на 8 лет договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 70 тыс. руб. в конце каждого двухлетнего периода. Эти взносы компания помещает в банк под годовую номинальную процентную ставку 10% годовых. Найдите приведенную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если сложные проценты начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.

13.Перед выходом на пенсию господин N хочет обеспечить себе дополнительно по прошествии каждых двух лет доход в сумме 100 тыс. руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен поместить в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 10% годовых с ежемесячным начислением?

14.Вы заняли на пять лет $12000 под 12 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите, какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые два года.

15.Стоит ли покупать за $5500 ценную бумагу, генерирующую ежегодный доход в размере $1000 в течении семи лет, если коэффициент дисконтирования равен 8%?

16.Предприятие приобрело здание за $20000 на следующих условиях: а)25% стоимости оплачиваются немедленно; б) оставшаяся часть погашается равными полугодовыми платежами в течении 10 лет

сначислением 12% годовых на непогашенную часть кредита по схеме

49

сложных процентов (%-ы начисляются ежеквартально). Определите величину годового платежа.

17. Участок сдан в аренду на 20 лет. Сумма годового платежа (схема постнумерандо) $1000, причем каждые пять лет происходить индексация величины платежа на 10%. Рассчитайте текущую цену договора на момент его заключения, если банковская процентная ставка равна 15% с ежеквартальным начислением.

18. Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течении трех лет, получая ежегодно выручку в размере 30 млн. руб. Предполагается, что продукция будет продаваться равномерно. Оцените ожидаемые суммарные денежные поступления, если а) применяется ставка 10% годовых (ежемесячное начисление); б) 10% начисляются ежедневно.

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

5.1 Цель занятия

Овладеть методикой оценки эффективности инвестиционных проектов, которые заданы как ординарный или неординарный финансовые потоки.

5.2 Задачи занятия

Освоить навыки нахождения критериев оценки инвестиционных проектов, основанных на расчете таких показателей как: чистая приведенная стоимость, чистая терминальная стоимость, индекс рентабельности, внутренняя норма прибыли, срок окупаемости.

5.3Краткие теоретические сведения

иформулы для расчета

Воснове процесса принятия решений инвестиционного характера лежат оценка и сравнение объема предполагаемых инвестиций и будущих денежных поступлений. Поскольку сравниваемые показатели относятся к разным моментам времени, то ключевой проблемой является проблема их сопоставимости.

Вобщем виде инвестиционный проект Р представляет собой модель P {ICi ,Ck , n, r} , где ICi - инвестиция в i –ом году, i=1,…,m чаще

m=1; Сл - приток (отток) денежных средств в k-ом году k=1,…,n; n -

продолжительность проекта; r – ставка дисконтирования.

Если финансовый поток в своем составе содержит только одну инвестицию и все остальные элементы этого потока положительные,

50

то он называется ординарным финансовым потоком. В противном случае поток называется неординарным.

Инвестиционные проекты, анализируемые в процессе составления бюджета капиталовложений, имеют определенную логику:

-с каждым инвестиционным проектом принято связывать денежный поток, элементы которого представляют собой либо чистые притоки, либо чистые оттоки денежных средств. Под чистым оттоком понимается превышение текущих денежных расходов по проекту над текущими денежными поступлениями (при обратном соотношении – чистый приток).

-предполагается, что весь объем инвестиций совершается в конце года, предшествующего первому года генерируемого проектом притока денежных средств.

-приток (отток) имеет место в конце очередного года (так как, например, прибыль считается нарастающим итогом на конец отчетного года).

-ставка дисконтирования, используемая для оценки проектов с помощью методов, основанных на дисконтированных оценках, должна соответствовать длине периода, заложенного в основу инвестиционного проекта.

Критерии, используемые в анализе инвестиционной деятельности, можно подразделить на две группы в зависимости от того, учитывается или нет временной параметр: а) основанные на дисконтированных оценках; б) основанные на учетных оценках.

Метод расчета чистой приведенной стоимости (Net Present Value, NPV) основан на сопоставлении величины исходной инвестиции (IC) с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока. Поскольку приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется с помощью ставки r, устанавливаемой аналитиком (инвестором) самостоятельно исходя из ежегодного процента возврата, который он хочет или может иметь на инвестируемый им капитал. Например, при анализе инвестиций в производственные предприятия в качестве ставок дисконтирования используются среднеотраслевые показатели доходности предприятий аналогичного класса.

Пусть делается прогноз, что инвестиция (IC) будет генерировать

втечение п лет годовые доходы в размере С1,С2,...,Сn. Общая накопленная величина дисконтированных доходов (Present Value, PV) и чистая приведенная стоимость соответственно рассчитываются по формулам

- для ординарного потока:

- для неординарного потока

Очевидно, что если: NPV > 0, то проект следует принять; если NPV < 0, то проект следует отвергнуть; NPV = 0, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

Следует особо прокомментировать ситуацию, когда NPV = 0. В этом случае действительно благосостояние владельцев компании не меняется, однако инвестиционные проекты нередко принимаются управленческим персоналом самостоятельно, при этом менеджеры могут руководствоваться и своими предпочтениями. Проект с NPV=0 имеет все же дополнительный аргумент в свою пользу: в случае реализации проекта объемы производства возрастут, т.е. компания увеличится в масштабе. Поскольку нередко увеличение размеров компании рассматривается как положительная тенденция, проект все же принимается.

Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала коммерческой организации в случае принятия рассматриваемого проекта, причем оценка делается на момент окончания проекта, но с позиции текущего момента времени, т.е. начала проекта. Этот показатель аддитивен в пространственно-временном аспекте, т.е. NPV различных проектов можно суммировать. Это свойство, позволяет использовать этот метод в качестве основного при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.