Лекция 3.
Первый закон термодинамики (частные случаи) для потока вещества при отсутствии технической работы.
1). Принимаем, что lтехн = 0 – нет механизмов и lтрен = 0 – нет диссипации энергии (обратимый процесс). В частном случае идеального газа для политропного процесса уравнение (1) запишем после интегрирования, используя равенства h = CpT , qn = CnT :
(2)
Отметим, что постоянная в (2) определяется выбранной трубкой (линией) тока. Для разных линий тока значения постоянных в соотношении (2) могут, вообще говоря, меняться. Кроме того, const в первую очередь обозначает, что постоянная не зависит от координаты вдоль трубки тока, но она может зависеть от ряда физических параметров, определяющих процесс.
После преобразований, учитывая соотношение n = (Cp – Cn)/(Cv – Cn), получим
уравнение Бернулли для данного варианта. В случае адиабатического процесса n = . Также просто описывается изобарический процесс n = 0 . Случай несжимаемой жидкости = const соответствует изохорному процессу n . Из уравнения (2) находим
С этим вариантом уравнения Бернулли вы знакомы по курсу ПАХТ.
2). Для потока не совершающего технической работы lтехн = 0, при z = const , т. е. dz = 0 ; и адиабатичности течения q = qвнеш + qтрен = 0 , имеем
WdW
+ dh
= 0
(3)
Истечение из суживающегося канала. Критическое давление и скорость. Максимальный расход.
Рис.1.
Полагаем в уравнении (1) q = 0 , dz = 0 . Получим соотношение (3). Внутри сосуда W1 << W2 . Поэтому для идеального газа при адиабатном процессе h = CpT = RT/( – 1) = pv/( – 1) , pv = const , = Cp/Cv , Cp = Cv + R , имеем
Массовый расход газа через сечение S2 равен m = 2W2S2 . При этом принято, что течение можно считать одномерным. Комбинируя полученные соотношения, находим окончательно
График полученной зависимости представлен на рис. 2.
Рис.2.
Функция m имеет максимум m = mmax при
координата которого получена из условия равенства нулю производной этой функции по переменной = p2/p1 . В частности для воздуха кр = 0.528 . Отношение давлений в точке максимума называется критическим. Также критическими называют величины p2 , W2 в точке экстремума (при m = mmax). Для критической скорости W2 = Wкр в случае идеального газа pv = RT имеем формулу Лапласа
W2 = Wкр = (pкрvкр)1/2 = (RTкр)1/2 = a .
Величина a – скорость звука, как известно из курса газодинамики. Распространение звука в идеальном газе протекает как адиабатический процесс. Слабые возмущения в газовом потоке не могут распространяться со скоростью превышающей a , поэтому при достижении в выходном сечении канала скорости звука, всякие изменения параметров газа за пределами канала будут сноситься потоком и не могут влиять на ситуацию в сосуде.
Рис. 3.
Поэтому ветвь функции m при p2/p1 < (p2/p1)кр на практике реализоваться не может. Происходит «запирание» канала и выполняется равенство m = mmax . Примеры значений скорости звука: aугл.газа = 269 м/с , aвозд. = 340 м/с при нормальных условиях.