- •Обзор используемых приемов интегри-
- •14.5.1. Вычисление интегралов, содержащих квадратный
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование некоторых иррациональ-
- •14.5.5. Интегрирование квадратичных иррациональностей
- •Интегрирование выражений, содержащих
- •Интегрирование некоторых иррациональностей с помощью тригонометрических подстаново
- •14.6.1. Интегралы от рациональных функций, содержащих
- •Интегралы от рациональных функций, содержащих
- •Интегралы от иррациональных функций, содержащих
- •Интегралы от функций, содержащих
- •Интегралы от некоторых иррациональностей
- •Интегралы, содержащие показательную и логарифмическую функции
- •Интегралы, содержащие тригонометрические функции
- •Определение
- •15.4. Основные методы интегрирования
- •15.4.2. Метод интегрирования по частям
- •Площадь поверхности вращения дуги кривой
- •18.4.1. Кривая задана уравнением
- •18.5. Работа переменной силы
Интегрирование рациональных дробей
|
|
Вид интеграла |
Метод интегрирования |
||
---|---|---|---|---|---|
|
|
= .
|
|||
|
= |
|
|||
|
= = + + . . . + .
|
то каждому множителю соответствует дробь вида , и т.д. |
|||
|
Пример. =
|
5) Знаменатель содержит только множители пер вой степени, но некоторые из них повторяются, например: . Тогда каждому множителю вида соответствует следующая сумма дробей: . |
|||
|
Пример. =
|
6) Знаменатель правильной дроби содержит множители второй степени . Каждому такому множителю соответствует правильная дробь вида . |
|||
|
Пример. =
|
7) Некоторые множители второй степени повторяются, например, . Каждому такому множителю соответствует сумма дробей : |
Неизвестные коэффициенты разложения А, В, С и т.д. можно находить двумя способами.
Первый способ (метод неопределённых коэффициентов или по другому - метод сравнения коэффициентов). Он состоит в следующем.
Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших (как описано выше);
В правой части этого разложения дроби складывают (приводят к общему знаменателю и т. д.), получают также правильную дробь, после чего знаменатели левой и правой частей (а они одинаковые!) отбрасывают.
Получают тождественное равенство, в левой части которого стоит многочлен с известными коэффициентами, а в правой части стоит многочлен с неизвестными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях х , получим линейную систему из n уравнений c n неизвестными. Решив её , найдём искомые коэффициенты.
Второй способ (метод частных значений).
В полученное тождественное равенство двух многочленов подставляют конкретные числовые значения x . Этим самым вновь получают систему линейных уравнений, из которых и найдутся неизвестные коэффициенты разложения. Для простоты вычислений удобнее придавать переменной x значения, при которых знаменатель правильной дроби обращается в нуль (т.е. значения корней знаменателя ).
Замечание. В практических вычислениях нередко применяют комбинированный прием, т.е. для определения одних коэффициентов применяют первый способ, других – второй.
Пример. Рациональную дробь разложить на сумму простейших.
Решение. Дробь правильная, множитель не имеет действительных корней (т.е. не разлагается на множители), следовательно, разложение имеет вид:
= .
Коэффициенты А.В.С.D,E подлежат определению.
Приводя к общему знаменателю и отбросив его, получаем:
или, после очевидных преобразований,
Приравнивая коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях тождества, приходим к системе:
х4 х3 |
|
х2 х1 |
|
х0 |
|
Решив систему, получаем: .
Следовательно, = .