(9)2НЕОПР-Й ИНТЕГРА - копия - копия

Вид интеграла

Метод интегрирования

1)

Если дробь

Em

x

неправильная (т.е. степень

P

x

n

Pn

x

числителя больше или равна степени знамена-

Em

x

dx

теля: m n ),

то по правилу деления многочлена

на многочлен эту дробь всегда можно предста-

вить в виде суммы целой рациональной функции

и правильной дроби:

Em

x

= M k x

Rs x

.

Pn x

Pn x

2)

Целая часть

M k x

интегрируется непосредст-

Em x

венно. Задача свелась к интегрированию пра-

вильной дроби.

dx =

3)

Знаменатель

правильной

рациональной

дроби

P x

n

разлагают на множители первой степени (х – а)

x

M k

x dx

Rs

dx

(некоторые из них могут повторяться) и множи-

Pn

x

тели второй степени x2 px q , не имеющие

действительных корней (т.е. дискриминант

меньше нуля); некоторые из этих множителей

также могут повторяться.

Rs x

4)

Если

знаменатель

правильной рациональной

=

Rs

x

Pn x

дроби

разлагается на множители

вида

x

Rs x

Pn

x a x b . . . x m

Pn x x a x b . . . (x m) ,

A

B

M

то каждому

множителю

соответствует

дробь

=

+

+ . . . +

.

A

B

x a

x b

x m

вида

,

и т.д.

x a

x b

Пример.

Rs

x

=

5)

Знаменатель

содержит

только

множители

Pn

x

первой степени, но некоторые из них повторя-

Rs x

ются,

например:

Pn x x a k x b n . . . (x m) .

3

x b x с

x a

Тогда каждому множителю вида x a k соот-

A1

A2

A3

ветствует следующая сумма дробей:

x a 3

x a 2

x a

A1

A2

Ak

. . .

.

B

C

x a k

x a k 1

x a

x b

x c

Пример.

Rs x

=

6)

Знаменатель правильной дроби содержит мно-

Pn

x

2

жители второй степени x px q . Каждому та-

Rs x

кому множителю соответствует правильная дробь

A x B

(x2 px q) x2 rx s

вида

.

x2 px q

Ax B

Cx D

x2 px q

x2 rx s

Rs

x

7)

Некоторые множители второй степени повто-

Пример.

=

x2

px q k . Каждому такому

P

x

ряются, например,

n

x

Rs

множителю

соответствует

сумма

дробей:

A1 x B1

A2 x B2

(x2 px q)2 (x2 rx s)

..

A1 x B1

A2 x B2

k

k 1

x

2

px q

x

2

px q

x 2 px q 2

x 2 px q

Ak x Bk

Cx D

x 2 px q

x 2 rx s

Правильную рациональную дробь

Rs

x

разлагают на сум-

Pn

x

Пример. Рациональную дробь

2x

разложить на сумму

x2

1 2

x 1

2x

Ax B

Cx D

E

=

.

x2 1 2 x 1

x2 1 2

x2 1

x 1

Приводится к интегрированию рациональ-

2)

ной функции заменой

m

r

ax b

k

ax b n

ax b s

cx d t ,

R x,

, . . . ,

dx

cx d

cx d

m , . .,

r .

к – общий знаменатель дробей

n

s

14.5.5.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

R x, ax2 bx c dx

ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА

Для определённости перед

a возьмём

1.

ax2 bx c

a x t ,

знак плюс.

если а >0

Тогда

ax2 bx c ax2

2 a x t t 2 , отсюда

x

t 2 c

- рациональная функция от t,

b

2 a t

(значит рациональной функцией будет и dx

), следовательно,

ax2 bx c

a x t

a

t 2 c

t .

b 2

a t

Таким образом, интеграл

R x,

ax2 bx c dx преобразуется в инте-

грал от рациональной функции от t.

Возводя в квадрат обе части, получаем (для

определённости взяли знак плюс перед

с ):

2.

ax2 bx c = x t c ,

ax2 bx c = x2t 2 2xt c c .

Отсюда х оп-

ределяется как рациональная функция от t:

если с>0

x 2t

c b .

a t 2

Следовательно, и dx и корень

ax2 bx c

рационально выражаются через t , значит,

интеграл R x,

ax2

bx c dx сведён к инте-

гралу от рациональной функции от t.

149