Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(9)2НЕОПР-Й ИНТЕГРА - копия - копия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

644.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

x dx

2 ax 2b

ax b C

ax b

3a2

3a2 x2

4abx 8b2

ax b

15a

arctg

ax b

C , b 0 ;

ax b

ax b b

C , b 0

ax b

2 ln

ax b

2 ln

ax b

dx 2

ax b

2 ln

ax b

14.6.4.ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ

a2 x2 b2 ,

b2 a2 x2

a2 x2 b2

dx	1	a
		arcsin	x	C
		arcsin	x	C
b2 a2 x2	a	b

x dx

a2 x2 b2 C

a2 x2

x dx

a2 x2 C

b2 a2 x2

x2 dx

arcsin

x C

b2 a2 x2

155

a2 x2 b2 dx

arcsin

a2 x2 b2 3

a2 x2 b2 dx

b2 a2 x2 3

b2 a2 x2 dx

10.

a2 x2

a2 x2 b2 b

11.

a2 x2

b ln

12.

b arctg

a2 x2

b2 a2 x2

13.

a2 x2

b ln

a2 x2 b2

2 x2 b2

a ln

a2 x2 b2

14.

b2 a2 x2

a arcsin

x C

15.

a2 x2 b2 b

16.

arctg

17.

b2 a2 x2 b

18.

a2 x2

19.

156

b2 a2 x2

20.

14.6.5. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

a x

a x b x a b ln a x b x C

b x

a x

a x b x a b arctg

a x

b x

a x

a x b x a b arctg

b x

2 ln x a

x b C

a x

x a

x b

2 arctg

b x

x a b x

x a

14.6.6.ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ И

ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ ФУНКЦИИ

n 1

n 2

n n

1 x

... 1

n! С, n N.

ln x n dx x ln x n

n ln x n 1

n n 1 ln x n 2 ... 1 n n! С,

n N .

xn ln x dx

n 1

ln x

C, n 1

n 1

4.ln x n

5.dx

x ln x

dx ln x n 1 C, n 1 n 1

ln ln x C

157

14.6.7. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

ФУНКЦИИ

1.tg x dx ln cos x C

2.ctg x dx ln sin x C

3.sin2 x dx 21 x 41 sin 2x C

4.cos2 x dx 21 x 41 sin 2x C

5.sindxx ln tg 2x C

cos x

tg n x dx

n 1

tg n 2 x dx,

n 1

ctg n x dx

ctg

n 1

ctg n 2 x dx, n 1

n 1

sin x cos x dx

sin2 x C

10.

sin ax cos bx dx

cos a b x

C, a b

2 a b

11.

sin ax sin bx dx

sin a b x

C, a b

2 a b

12.

cos ax cos bx dx

sin a b x

C, a b

2 a b

13.xn sin x dx x n cos x n x n 1 cos x dx

14.xn cos x dx xn sin x n xn 1 sin x dx

158

15.		ax	a sin bx b cos bx

	x sin bx dx			C
			a2 b2

16.x

17.x

18.x

cos bx dx ax b sin bx a cos bx C a2 b2

sin n x dx ax sin n 1 x a sin x n cos x a2 n2

n n 1 ax sinn 2 x dx a2 n2

sin n x dx ax sin n 1 x a sin x n cos x a2 n2

n n 1 ax sinn 2 x dx a2 n2

cos n x dx

ax cos n 1

x a cos x n sin x

n n 1

ax cos n 2

x dx .

14.6.8.ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1.arcsin x dx x arcsin x 1 x2 C

2.arccos x dx x arccos x 1 x2 C


3.	arctg x dx x arctg x					1		ln 1 x2 C
	arctg x dx x arctg x							ln 1 x2 C
					2
4.
4.			2	1					x	1 x	2
	x			1					x	1 x
	x arcsin x dx						arcsin x
	x arcsin x dx	2		4			arcsin x			4
		2		4						4

5.
5.			2	1		x	1 x	2
	x			1		x	1 x
	x arccos x dx				arccos x
	x arccos x dx	2		4	arccos x		4
		2		4			4

159

6.	x arctg x dx	1	x2	1 arctg x	x	C

		2		2

14.6.9.ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

sh x dx ch x C

th x C

ch x dx sh x C

sh2 x dx

sh 2x C

th x dx ln ch x C

2 x dx

sh 2x C

cth x C

sh x

ДЛЯ ЗАМЕТОК

160

15.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ

15.1.1.ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ

СУММЫ

b		n 1	xi , где
f x dx	lim	f xi	xi , где	xi xi xi 1 ,	xi xi 1 xi .
a	max xi 0	i 0
a		i 0

15.1.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА –

площадь криволинейной трапеции

y f x

а0

s ab f x dx

15.2. ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА ВЫЧИСЛЕНИЯ

	ОПРЕДЕЛЁННОГО		ИНТЕГРАЛА
Если f x непрерывна на отрезке			a,b или имеет конечное чис-
ло конечных разрывов (I		рода) и	F / x f x , то
b				b
				F x ba F b F a
f x dx		f x dx
a
			a

15.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО

			ИНТЕГРАЛА
	b	b	b
1)	f x dx = f t dt = f z dz ,
	a	a	a
			161

т.е. результат не зависит от обозначения переменной

интегрирования.

	a
2) f x dx 0 .
	a
	b	a
3)	f x dx f x dx .
	a	b
	b	c		b
4)	f x dx = f x dx + f x dx .
	a	a		c
	b	b
5)	A f x dx	A f x	dx ,	где А – пост. .
	a	a
	b		b	b
6)	f x x dx = f x dx + x dx .
	a		a	a
			b
7)	Теорема о среднем:		f x dx = b a f c , где

a c b .

15.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

15.4.1. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Если	x t и	a ,	b , то
b
f x dx = f t / t dt .
a

15.4.2. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

b	b	b
U dV U V		V dU .
a	a	a

162

15.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ

Промежуток интегрирования от

а до b

разбивают на

n равных

частей и для точек деления

x0 a, x1 , x2 ,...., xn 1 , xn

b вычисляют значе-

ния интегрируемой функции

y f x .

Затем используют одну из сле-

дующих формул, полагая h

b a

а)

формула прямоугольников: y dx h y0

... yn 1 ;

б)

формула трапеций:

y dx h

... yn 1 ;

в)

формула парабол (Симпсона),

n – чётное:

y0 yn 4 y1 y3 ... yn 1 2 y2 y4 ... yn 2

y dx

16. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

16.1.ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ

			b
а)	f x dx	lim f x dx .
	a	b a
	b			b
б)	f x dx		lim	f x dx .
			a a
			с
	f x dx		с		f x dx ,
в)	f x dx		f x dx		f x dx ,
					с

где с – некоторая точка промежутка ; .

163

	16.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Если	f x	непрерывна во всех точках отрезка			a,b за исключе-
нием точки	с,	в которой	f x имеет бесконечный разрыв (разрыв II
рода), то
b	c	b		M		b
f x dx =	f x dx + f x dx = lim			f x dx	+ lim	f x dx .
a	a	c	M c 0	a	N c 0	N
a	a	c		a		N

y f x

0	a	M c N	b	x

17.НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЁННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.				11.		sin	2		kx				cos		2	kx
1.	cos nx dx 0			11.		sin			kx		dx		cos			kx		dx
	cos nx dx 0							x			dx				x			dx
					0			x				0			x
					0							0

2.		nx dx		12.	sin3 kx							3
	cos 2										dx		k ln3
	cos 2					x			2		dx	4	k ln3
					0	x						4
					0

3.				13.	sin kx						cos kx
	sin nx dx 0									dx							dx
	sin nx dx 0					x		2		dx			x	2			dx
					0	x					0		x
					0						0

			164

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.2015421.7 Кб7(16))СОДЕРЖАНИЕ(КОНЕЧНЫЙ). - копия - копия.pdf
#
21.11.2019392.19 Кб12(2)Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я - копия - копия.doc
#
21.11.2019323.58 Кб7(3)Г Е О М Е Т Р И Я КОНЕЧНЫЙ - копия - копия.doc
#
21.11.20191.11 Mб8(5)ГЕОМ.АНАЛИТ.КОНЕЧНЫЙ - копия - копия.doc
#
21.11.2019804.35 Кб4(6)ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННО...doc
#
14.04.2015644.46 Кб10(9)2НЕОПР-Й ИНТЕГРА - копия - копия.pdf
#
21.11.20191.2 Mб7(9)НЕОПР-Й ИНТЕГРА - копия - копия.doc
#
24.12.201895.74 Кб36+Готово Копия курсовая эпизоотология.doc
#
14.04.20157.4 Mб300-lit-05.pdf
#
14.04.2015302.08 Кб320430443_BE34F_shpargalki_po_fiziologii.doc
#
20.03.2016100.72 Кб381 Раб. тетр. Корп. фин. ОЧНИКИ.doc