(9)2НЕОПР-Й ИНТЕГРА - копия - копия

4.

nx dx

14.

sin 3 kx

3

sin 2

x

2

dx

4

k

ln 3

0

5.

cos kx cos px dx 0, k p

15.

sin kx dx

kx

0

x

x

6.

16.

3

kx dx

3

3 1

sin kx sin px dx 0,

k p

sin

0

x

4

6k

7.

17.

3

kx dx

3

3

cos kx sin px dx 0

sin

2k

0

x

x

4

8.

2

18.

dx

cosk

x cos kx dx

2k 1

,

0

sh kx

0

k 1 0

9.

x sin kx dx

k

19.

x dx

2

sin k

2

k

sin

2

,

sh kx

4k

2

0

0

k 1 0

10.

x cos kx dx

k

20.

x

2

sin k

k

cos

2

,

x

1

dx

6

0

2

0

k 1 0

165

y

y f x

y

a 0

b x

0 a

b

x

y f x

b

S f x dx

b

a

S

f x dx

a

y f x

y f x

a

b

b

0

0

a

x

y x

b

f x dx

b

S

S f x x dx

a

a

d

y

d

x y

x y

x y

0

x

0

x

c

с

d

с

S y y dy

c

d

S y dy

c

F

f

f

α

0

0

1

1

S

2 d

F 2 f 2 d

2

S

2

18.2.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ

18.2.1. В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Длина дуги гладкой кривой

y f x в прямоугольных координа-

тах от точки x a до точки x b (a b) :

b

l 1 y / 2 dx .

a

18.2.2. В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Длина дуги гладкой кривой

f в полярных координатах от

точки

до

точки

:

l 2 / 2 d .

18.2.3. КРИВАЯ ЗАДАНА В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Длина дуги гладкой кривой

x t , y t , заданной в парамет-

t

x / 2 y / 2 dt .

рической

форме, t1

t2 :

l 2

t1

18.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ ТЕЛ

18.3.1. ОБЪЁМ ТЕЛА С ИЗВЕСТНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ S x

y

b

V S x dx

b

a

а

x

0

x

S x

168

18.3.2. ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ вокруг оси Ох кривой y f x

y f x

y

b

a

a

a

x

Vox y

2

dx

0

b

a

b

f x 2 dx

a

18.3.3. ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ вокруг оси Оу кривой x y

y

y

d

x

d

Voy

x2

dy

0

c

x

c

d

2 y dy

c

18.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ДУГИ КРИВОЙ

18.4.1. КРИВАЯ ЗАДАНА УРАВНЕНИЕМ

y f x

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох

дуги кривой y f x между точками с абсциссами

x a, x b a b ,

b

b

1 y 2 dx ,

выражается формулой S 2 y ds 2 y

a

a

где

2

2

dy

2

ds dx

dy

1

dx - дифференциал дуги кри-

dx

вой.

169

t2

dx

2

dy

2

S 2 y t

dt ,

t1

dt

dt

где t1 , t2 - значения параметра

t , соответствующие концам вра-