- •7. Основы ВекторНой алгебры
- •7.1. Равенство векторов
- •7.2. Сложение векторов
- •Некоторые свойства:
- •7.10. Действия над векторами в координатной форме
- •7.10.1. На плоскости
- •7.10.2. В пространстве
- •8.2. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •Кривые второго порядка
- •8.3.1. Окружность
- •8.3.2. Эллипс
- •Гипербола
- •Парабола
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Параметрические уравнения прямой
- •Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения
7. Основы ВекторНой алгебры
7.1. Равенство векторов
Вектор равен вектору ( пишут ), если
они:
1) параллельны (коллинеарны),
2) сонаправлены (одного направления),
3) их длины равны :
7.2. Сложение векторов
|
|
a) правило треугольника |
|
|
|
|
|
b) правило параллелограмма |
|
|
|
7.3. Вычитание векторов
Умножение вектора на число
7.5. Скалярное произведение векторов
а) Определение:
Некоторые свойства:
- переместительный закон ( коммутативный) справедлив;
если , то
если то (здесь ).
7.6. Векторное произведение ВЕКТОРОВ
а) Определение.
Векторным произведением векторов называют
вектор удовлетворяющий условиям:
1) ;
2) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :
,
где - угол между векторами .
3) вектор направлен в ту сторону, что кратчайший поворот от вектора к вектору кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .
Векторное произведение векторов обозначают различно:
Некоторые свойства:
;
, k – число;
.
7.7. Двойное векторное произведение
есть вектор, компланарный (параллельный) векторам Вычисляется по формуле
В общем случае
7.8. Смешанное произведение трёх векторов
Обозначают различно: .
Е сли векторы ненулевые и некомпланарны, то смешанное произведение есть число, абсолютная величина которого равна объёму параллеле- пипеда, построенного на этих векторах, исходящих из
одной точки,
т.е. .
7.9. Векторы в координатной форме
7.9.1. НА ПЛОСКОСТИ
|
координатные единичные векторы (орты): где х, у - проекции вектора на оси координат (координаты вектора). Можно кратко писать: , ,
|
|
7.9.2. в пространстве |
||
Z z
0 y Y x X |
- координатные единичные векторы :
где x, y, z - проекции вектора на оси координат. Вектор можно записать так: , или |