- •7. Основы ВекторНой алгебры
- •7.1. Равенство векторов
- •7.2. Сложение векторов
- •Некоторые свойства:
- •7.10. Действия над векторами в координатной форме
- •7.10.1. На плоскости
- •7.10.2. В пространстве
- •8.2. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •Кривые второго порядка
- •8.3.1. Окружность
- •8.3.2. Эллипс
- •Гипербола
- •Парабола
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Параметрические уравнения прямой
- •Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения
8.3.2. Эллипс
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с полуосями и : . , - вершины эллипса, большая ось эллипса, малая ось. Фокусы эллипса: , , где . - фокусное расстояние.
|
Фокальные радиусы точки М(х,у) эллипса: , где эксцентриситет эллипса. Параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b:
|
|
|
Уравнение эллипса с центром в точке и осями, параллельными осям координат:
|
Гипербола
|
Каноническое уравнение гиперболы с полуосями a и b:
Фокусы гиперболы: , где . Фокальные радиусы точки М(x, y) гиперболы: , где эксцентриситет гиперболы. Асимптоты гиперболы: . |
||
|
Уравнение гиперболы с центром в точке и осями, параллельными осям координат:
|
|
Парабола
|
Каноническое уравнение параболы:
- парабола, симметричная относительно оси Оx. Фокус параболы в точке . Уравнение директрисы параболы: . Фокальный радиус точки M(x,y) параболы . |
|
Каноническое уравнение параболы:
- парабола симметрична относительно оси Оy. Фокус параболы . Уравнение директрисы параболы: . Фокальный радиус точки M(x,y) параболы . |
9. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
9.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
а) Расстояние между точками и :
б) Деление отрезка в данном отношении.
Координаты точки, делящей отрезок с концами и в данном отношении :
, , .
При = 1 имеем координаты середины отрезка:
, , .
ПЛОСКОСТЬ
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
.
Вектор перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной вектору :
|
|
9.2.3. УГОЛ, ОБРАЗОВАННЫЙ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ
|
Угол, образованный двумя плоскостями, , : . |
9.2.4. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ . |
9.2.5. УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
.
РАССТОЯНИЕ ТОЧКИ ОТ ПЛОСКОСТИ
Даны точка и плоскость . Расстояние
вычисляется по формуле .
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ДАННЫЕ ТОЧКИ
:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ и параллельной заданному вектору
|
, где - направляющий вектор прямой. |
9.3.2. ПРЯМАЯ КАК ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ |
.
Такое задание прямой называют общим уравнением прямой линии. За направляющий вектор можно взять вектор, который является векторным произведением векторов , - нормальных векторов плоскостей.