1.6. Вероятностные модели функционирования систем электропотребления.

Представление условий работоспособности системы в виде логической функции не является самоцелью, а только завершает первый этап исследования надежности. На втором этапе, используя ФРС и вероятностные характеристики элементов системы, определяют вероятностную функцию всей системы. В общем случае переход от ФРС произвольного вида к соответствующей вероятностной функции является достаточно сложным, основные затруднения возникают из-за повторной формы ФРС. Переход от логической функции к вероятностной значительно упрощается, если имеем ортогональную или бесповторную форму ФРС системы, что обеспечивает применение к ней основных теорем теории вероятностей.

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными, если их произведение равно нулю. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух конъюнкций является наличие в одной из них переменной Xi, а в другой - ее отрицания X'i. С точки зрения теории вероятности ортогональные конъюнкции выражают несовместные события.

Дизъюнктивная нормальная форма называется ортогональной (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны. Если в результате преобразований удастся выразить условия работоспособности системы логической функцией в ОДНФ, то вероятность безотказного функционирования системы определяется по теореме сложения вероятностей несовместных событий (формула Байеса).

Переход к вероятностной функции возможен не только из ОДНФ, но и из бесповторной формы логической функции.

Бесповторной формой функции алгебры логики (БФАЛ) Y(X₁,...,X_k) называют такую форму, в которой все буквы имеют разные номера. При этом если ортогональность соответствует не совместности событий, то бесповторность в логике отражается независимостью событий в теории вероятностей.

Имея бесповторную дизъюнктивную нормальную форму (БДНФ) ФРС, с помощью теоремы де Моргана записываем ее в виде отрицания произведения отрицаний элементарных конъюнкций и по теореме произведения вероятностей независимых событий находим вероятностную функцию.

В настоящее время разработано несколько алгоритмов расчета надежности ЛВМ: алгоритмы разрезания, ортогонализации, табличного метода расчета надежности, схемно-логического метода и ряд других.

2. Выбор метода расчета надежности

2.1. Метод наращивания кратчайших путей успешного функционирования

В данном методе последовательно увеличивается число кратчайших путей успешного функционирования, путем добавления на каждом i-м шаге очередного КПУФ Pi. Величина вероятностной добавки от вновь "прибывшего" КПУФ вычисляется по формуле полной вероятности. Для этого безусловная вероятность успешного функционирования данного пути Pi умножается на условную вероятность отказа всех предшествующих путей при условии, что элементы данного Pi-го в этих отказах не участвовали, то есть при условии абсолютной надежности всех элементов наращиваемого пути.

Процедура последовательного вычисления условных вероятностей R⁽⁰⁾, R⁽¹⁾,…,R⁽ⁱ⁾, R⁽ⁱ⁺¹⁾,…, R^(d) выполняется по рекуррентной формуле

(2.1)

где R⁽⁰⁾=0 – исходная условная вероятность при отсутствии всех путей успешного функционирования;

R⁽ⁱ⁾ = - условная ВБРС, вычисленная на предыдущем шаге при условии наличия в системе первых i путей;

- вероятность успешного функционирования (i+1)-го КПУФ, определяемая произведением вероятностей безотказной работы элементов , входящих в этот путь:

(2.2)

- условная вероятность отказа первых i путей при условии абсолютной надежности пути;

- условная ВБРС при наличии в системе первых i путей при условии абсолютной надежности всех элементов, входящих в (i+1)-й путь (вычисляется по формуле полной вероятности);

- искомая вероятность безотказной работы системы (ВБРС), вычисляемая на последнем d-м шаге, где d – число КПУФ в логической ФРС, записанной в ДНФ.

Рекуррентную формулу (2.1) с учетом (2.2) можно представить в более удобной для расчета форме:

(2.3)

Первое слагаемое в выражении (2.3) вычисляется на предыдущем шаге. Во втором слагаемом определенную сложность представляет определение ВФ по логической функции из i путей.

Условие абсолютной надежности элементов (i+1) – го пути уменьшает ранг тех путей, которые содержат элементы из КПУФ , так как последние заменяются на единицу.

К достоинствам метода следует отнести возможность косвенной проверки правильности расчетов на каждом шаге. Сумма коэффициентов полинома ВБРС должна быть постоянно равна единице. Последовательное наращивание путей позволяет легко определить вклад каждого из них в надежность системы, а монотонное увеличение безотказности дает ее нижнюю оценку, что позволяет остановить расчет на любом шаге при достижении требуемой безотказности.