2 Акустические системы и электроакустические аналоги

Акустические колебательные системы являются частными случаями систем механических. Обычно состояние механической системы характеризуется смещением и колебательной скоростью отдельных материальных точек. Воздействие характеризуется силами, действующими на систему.

Если линейная система совершает вынужденные колебания под действием внешней периодической синусоидальной силы, уравнение движения можно представить в виде:

= . (3)

Пусть r – активное сопротивление системы и на резонатор действует периодическое внешнее давление падающей звуковой волны .

Уравнение движения (3) принимает при этом вид

= . (4)

Акустические системы удобнее описывать, пользуясь объемными смещениями и объемными скоростями, а за внешнее воздействие принимать давлением.

Введем в (4) объемные переменные: смещение , скорость и ускорение .

Разделив обе части на , получим:

или

. (5)

Коэффициенты при переменных этого уравнения называются акустическими параметрами системы. К ним относятся:

1. акустическая масса = = ;

2. акустическая гибкость = = ;

3. акустическое сопротивление = .

Уравнение (5) аналогично уравнению, описывающему колебательные процессы в электрическом контуре:

. (6)

Т аким образом, аналогом резонатора Гельмгольца является электрический контур с последовательно соединенными параметрами , , . Установленная связь позволяет применять метод аналогий для анализа и синтеза сложных акустических систем.

Если решить уравнение (5) для стационарного режима относительно объемной скорости (эту величину иногда называют потоком), то получим решение вида:

= ,

или, в комплексной форме,

= .

Величина называется полным акустическим сопротивлением и имеет те же составляющие (инерциальную, упругую, активную), что и механическое сопротивление .

Связь между акустическим и механическим сопротивлениями определяется формулой = .

Практическим свойством резонатора является его способность к усилению звука. Усиление резонатора (М) характеризуется отношением максимального давления в полости резонатора к максимальному (амплитудному) значению давления в падающей звуковой волне:

.

Избыточное давление в полости значительно больше внешнего избыточного давления, а это означает, что вблизи от резонанса система дает значительное усиление акустического процесса, отбирая большое количество энергии от падающей на резонатор волны.

Процессы, происходящие в резонаторе Гельмгольца, связаны с упругой деформацией воздушного объема в полости (см. рис. а). Рассмотрим другой случай – колебание воздуха в открытой трубе длиной l и внутренним диаметром 2a (см. рис. б).

В отличие от резонатора Гельмгольца, воздух в открытой трубе не будет деформироваться. «Столб» воздуха смещается как единое целое вместе с поршнем. Характер возникающей при этом реакции обусловлен инерцией воздуха, смещаемого поршнем. Поэтому при вычислении этой реакции следует учесть массу воздуха в трубе:

, где .

Кроме того, в колебаниях будет принимать участие воздух, непосредственно примыкающий к открытому концу трубы. Его инерция может быть учтена путем добавления к массе воздуха в трубе, так называемой массы «соколеблющегося» воздуха , которую можно оценить по формуле:

~ .

Следовательно, общая масса воздуха, смещаемая поршнем,

М= .

В случаях, когда длина трубы больше ее диаметра (l > 2a), влиянием массы можно пренебречь:

< 1.

Таким образом, акустические системы можно изображать в виде механических схем с сосредоточенными параметрами (см. рис. в) и пользоваться для их расчета электромеханическими аналогами. При этом электрическим аналогом замкнутого воздушного объема является емкость, а движущегося потока воздуха в открытой трубе – индуктивность (см. рис. г).

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

1. Показать, что замкнутый воздушный объем подобен пружине, а движущиеся воздушные потоки в открытой трубе – массе. Указать электрические аналоги данных элементов.

2. Разобраться с примером решения задачи, представленным ниже. Решить аналогичную задачу, взяв значения индивидуальных данных из таблицы.

Пример решения задачи

Условие задачи: Источник шаровой (сферической) волны акустической мощностью W=0,01 Вт излучает сложный звук, состоящий из двух синусоидальных составляющих.

В звуковом поле излучателя на расстоянии r₂ находится резонатор, имеющий частоту резонанса f₀ = 1 кГц, длину l_Г и площадь сечения горла S_Г соответственно 0,1 м и 1,0·10^–3 м².

В точке расположения резонатора обе составляющие сложного звука имеют одинаковые уровни громкости 50 фон и одинаковые уровни интенсивности 57 дБ.

Известно также, что одна из составляющих излучаемого звука ниже частоты резонанса (f₁<f₀) резонатора, а вторая – выше (f₂>f₀).

Определить:

1. объем полости резонатора V;

2. частоты f₁ и f₂ составляющих звукового сигнала;

3. расстояние r₂ от резонатора до излучателя;

4. уровень интенсивности и громкости сложного звука на расстоянии r₁ =10 м от источника звука;

5. амплитуды смещения и ускорения воздуха в горле резонатора под действием звукового давления низкочастотной составляющей сигнала (Р₁).

Решение: до начала решения следует сделать рисунок, графически иллюстрирующий условие задачи. Заданные величины записываются на соответствующих расстояниях от источника выше осевой линии, искомые – ниже осевой линии.

1) При резонансе инерционная и упругая составляющие полного акустического сопротивления компенсируюся и резонансная частота резонатора определяется по общей формуле

, (7)

где , , – длина горла резонатора (см. Я.Ш. Вахитов «Теоретические основы электроакустики и электроакустическая аппаратура» изд-во «Искусство» 1982 г., с.24).

Заданные параметры резонатора позволяют воспользоваться одной из этих формулой для определения объема полости резонатора:

.

2) Для нахождения составляющих частот звукового сигнала f₁ и f₂, отметим некоторые данные условия задачи:

f₁<f₀; f₂>f₀ ; 57 дБ и 50 фон.

Поскольку в точке расположения резонатора обе составляющие сложного звука имеют одинаковые уровни громкости и одинаковые уровни интенсивности , для решения этого пункта задачи воспользуемся кривыми равной громкости по данным Международной организации стандартов ISO: f₁= 100 Гц; f₂ = 8000 Гц.

Примечания.

1) Кривые равной громкости соответствуют субъективному восприятию звука одинаковой громкости и таким образом отражают свой­ства человеческого слуха. На диаг­рамме приведены уровень громкости (измеряется в фонах) при различной частоте, а также шка­лы давления и уровня интенсивности.

По диаграмме видно, что для того чтобы услышать низкий звук с частотой 50 Гц, требуется звуковое давление, примерно в 100 раз большее (уровень звукового давления около 40 дБ), чем в случае звука с частотой 1000 Гц (уровень звукового давления 0 дБ). Соединяя на графике для различных частот общей линией значения давления, при которых становится возможно слуховое восприя­тие, получают кривую, определяющую нижний порог слышимости. Аналогично построен верхний порог слышимости, для различных частот соединены уровни звукового давления, при которых слуховое ощущение переходит в боль.

Пользуясь диаграммой, можно определить: давление звука на нижней границе слуха (порог слышимости - 0 фон) и на верхней границе слуха (болевой порог – 120 фон) для различных частот; громкость звука при известной амплитуде давления; громкость звука при мощности точечного источника звука 10 мВт (человеческая речь).

2) Фоном называется единица уровня громкости. Уро­вень громкости звука составляет n фон, если средний слушатель оценивает его как равный по громкости тону с частотой 1000 Гц и уровнем давления в п деци­бел.

3) По условию задачи в роли источника звука выступает пульсирующий точечный шар, вызывающий сферические волны, т.е. фронт волны имеет форму сферы. Под фронтом волны понимается поверхность, до всех точек которой волна доходит одновременно и создает во всех точках одинаковое по величине и фазе звуковое давление. Площадь фронта сферической волны S_ФР = , где r – расстояние от центра волны (точка размещения излучателя) до рассматриваемой точки звукового поля на сфере.

Очевидно, что через каждый квадратный метр площади S_ФР в одну секунду проходит звуковая энергия , (8)

где – интенсивность звука – энергетическая величина, определяемая количеством звуковой энергии, приносимой волной в одну секунду через площадку 1 м² , нормальную к распространению волны. Измеряется в Вт/м² , зависит от координат рассматриваемой точки звукового поля.

Интенсивность звука прямому измерению не поддается, её вычисляют, измерив звуковое давление. Связаны эти величины соотношением

, (9)

в котором Р – эффективное (действующее) значение звукового давления (т.е. ), а произведение называется волновым сопротивлением среды.

Так как из (9) , то, с учетом (8)

, (10)

т. е. в поле сферической волны звуковое давление обратно пропорционально расстоянию.

Таким образом, чтобы найти расстояние r₂ от излучателя до резонатора, необходимо определить звуковое давление в точке расположения резонатора. Это можно выполнить пользуясь определением децибела.

При переходе от самых тихих звуков к самым громким диапазон изменения звуковых давлений составляет 10⁷, а интенсивностей 10¹⁴. При графическом представлении свойств слуха отобразить такой огромный диапазон в линейном масштабе невозможно.

При расчете звуковых полей пользуются логарифмическими уровнями интенсивностей, определяемыми по формуле ,

где - интенсивность данного звука, - стандартное значение интенсивности, установленное международными рекомендациями (ISO-recomendation) и называемое интенсивностью нулевого уровня, = 10^-12 Вт/м².

Если принять , то получим N=1, т.е. единицу уровня интенсивности, называемую Бел. На практике используется десятая доля Бела, называемая децибел (дБ).

В дБ уровень интенсивности вычисляется по формуле ..

Уровень, вычисляемый с помощью эффективного (действующего) значения звукового давления данного звука (Р) и звуковое давление нулевого уровня (Р₀), называют уровнем звукового давления.

Звуковое давление нулевого уровня определяется по формуле

Р₀= 2,04·10^-5Па.

Уровни интенсивности или уровни звуковых давлений, создаваемые несколькими источниками в какой-либо точке звукового поля, нельзя складывать.

Пусть, например, два источника звука каждый в отдельности создают в заданной точке поля сравнительно небольшой уровень интенсивности N₁=N₂=75 дБ (это примерно соответствует уровню речи нормальной громкости на расстоянии 1 м). Если эти два уровня сложить, то получим 150 дБ, т.е. очень большой уровень, превышающий порог болевого ощущения, что не соответствует действительности.

Ошибка связана с тем, что здесь произведено сложение уровней, в то время как следовало складывать не уровни, а сами интенсивности, т.е. считать .

Произведем правильное вычисление: .

Отсюда . Такой же будет и интенсивность второго звука, т.к. уровни интенсивностей N₁ и N₂ равны.

Следовательно, Вт/м². , т.е. результитрующий уровень увеличился всего лишь на 3 дБ.

Когда необходимо сопоставить между собой два звука с разными уровнями интенсивности (например, N₁ – перед преградой и N₂ - за преградой), то в этом случае можно вычитать меньший уровень из большего. Т.е. разность уровней

.

Итак, уровень изменения звукового давления определяется как . Таким образом, можно записать, что

Па.

Амплитудные значения каждого из давлений

Па.

Эффективное значение общего давления определится как среднеквадратичное значение:

Па.

Воспользуемся уравнением (9) и по известной величине общей мощности (W=0,01 Вт) и полученном ранее значению общего давления , можно найти искомое расстояние

= 40,1 м.

4) Для определения общего уровня интенсивности сложного звука на расстоянии r₁ следует пересчитать значения звуковых давлений.

Исходя из свойств сферических волн, можно показать, что . Следовательно, Па.

Общее давление Па.

Уровень звукового давления (интенсивности) каждого звука

дБ.

Уровень звукового давления (интенсивности) сложного звука

дБ.

Для определения уровня громкости сложного звука необходимо суммировать громкости λ составляющих звуков.

Громкость есть субъективная количественная мера ощущения звука, для которой главным физическим параметром является звуковое давление.

Э то не означает, что громкость пропорциональна давлению, т.к. субъективные величины, как правило, зависят от своих физи­ческих корреляторов весьма сложным образом, не поддающимся представлению простыми математическими соотношениями. Эти зави­симости получают экспериментально и представляют их в виде гра­фиков.

Такая зависимость, полученная эксперимен-тально Г.Флетчером, приведена на рисунке, где по горизонтальной оси отложены уровни громкости звуков L (в фонах), а по вертикальной оси – соответствующие им громкости λ.

Громкость звука выражается в единицах, называемых сон. Один сон есть громкость звука частотой 1000 Гц, имеющего уро­вень интенсив-ности 40 дБ или уровень громкости 40 фон (напомним, что на частоте 1000 Гц уровни в фонах и децибелах совпадают).

Пользуясь кривой громкости, можно определить уровень громкости сложного звука, заданного спектром, т.е. графиком или табли­цей, в которой указаны частоты составляющих f₁, f₂, …f_n и соответствующие уровни интенсивности N₁, N₂, …N_n.

В этом случае методика определения уровня громкости L сложного звука сводится к следующей процедуре:

• по каждой паре значений f_К, N_К с помощью кривых равной громкости определяются уровни громкости составляющих: L₁, L₂, …L_n;

• по кривой громкости для каждого значения L находят в сонах значения громкости λ_К, т.е. λ₁, λ₂, …λ_n;

• суммируя полученные парциальные громкости, находят громкость сложного звука λ:

- по кривой громкости находят (обратным перемещением) значение уровня громкости L сложного звука (соответствующее полученному путем суммирования значений

Для определения уровня громкости, используя кривые равной громкости, каждой паре значений: f₁=100 Гц и =69 дБ и f₂=8000 Гц и =69 дБ

находим 63 ф и 65 ф.

Далее по кривой громкости получаем 6 сон; 7 сон;

6+7=13 сон.

По той же кривой обратным ходом определяем 73 фон.

5) Для определения амплитуды смещения и ускорения воздуха в горле резонатора под действием звукового давления низкочастотной составляющей сигнала, необходимо знать амплитудное значение давления, т.е. .

Поскольку f₁< f₀ , то акустическая колебательная система резонатора управляется упругостью, и можно считать, что полное механическое сопротивление Z определяется одной лишь акустической упругой (гибкостной) составляющей:

Z = ~ .

Если система управляется только упругостью, то из уравнений (3, 4) следует, что

, .

По формуле для из (7), определим

Отсюда ,

².

Таблица индивидуальных данных для решения задачи:

Параметр	Вариант
	1	2		3		4		5		6		7		8
W, Вт	0,1		0,05		0,75		0,1		0,2		0,1		0,04		0,3
f0, кГц	1		4		4		1,5		2		2		1		1,5
r1, м	10		10		10		10		10		10		10		10
, м	0,1		0,4		0,2		0,1		0,3		0,2		0,1		0,1
, мм2	1·10-3		10·10-3		5·10-3		20·10-3		8·10-3		40·10-3		1·10-3		20·10-3
N, дБ	60		65		70		60		60		80		60		60
L, ф	40		40		50		50		40		60		40		50

Параметр	Вариант
	9	10		11		12		13		14		15		16
W, Вт	0,8		0,15		0,55		0,9		0,4		0,6		0,2		0,8
f0, кГц	1		4		4		1,5		2		2		1		1,5
r1, м	10		10		10				10		10		10		10
, м	0,1		0,4		0,2		0,1		0,3		0,2		0,1		0,1
, мм2	1·10-3		10·10-3		5·10-3		20·10-3		8·10-3		40·10-3		1·10-3		20·10-3
N, дБ	60		65		70		60		60		80		60		60
L, ф	40		40		50		50		40		60		40		50