- •Составление динамической модели простейшей механической колебательной системы методом электромеханических аналогий
- •Методические указания к выполнению работы
- •1 Механическая колебательная система с одной степенью свободы
- •2 Электромеханическая аналогия
- •Переменные:
- •2) Параметры
- •3) Сопротивления
- •3 Механические двухполюсники и их соединения
- •4 Примеры изображения механических систем и их эквивалентные схемы
Лабораторная работа 6
Составление динамической модели простейшей механической колебательной системы методом электромеханических аналогий
Цель работы: усвоение методики и развитие навыков выполнения начальных процедур анализа акустических систем: составление динамической модели анализируемого устройства, составление его эквивалентных электрических схем.
Методические указания к выполнению работы
Изучив материал по теме, выполнить задания, ответы на которые представить для отчета в письменном виде.
Введение
П ростейшая механическая колебательная система, состоящая из массы m, подвешенной на пружине, с коэффициентом гибкости с и внутренним трением r, является составной частью всех электроакустических аппаратов – громкоговорителей, микрофонов, телефонов и др.
Масса m реализуется в виде жесткой конической или куполообразной диафрагмы с подклеенной к ней звуковой катушкой.
П ружина имеет вид гофрированного кольца, называемого воротником, центрирующей шайбой или просто гофром.
В упрощенном виде простейшую механическую колебательную систему в виде диска (поршня), подвешенного на гофрированной (а) или спиральной (б) пружине.
а) б)
Существует общность математических уравнений, которыми описываются колебания в механических системах и колебания тока в электрических цепях. Это ясно видно на примере уравнения напряжений, описывающего вынужденные колебания в одиночном линейном электрическим контуре, и уравнением сил для линейной механической колебательной системы с одной степенью свободы:
электрическая цепь ,
механическая система .
С математической точки зрения эти уравнения ничем не отличаются. разница только в использованных обозначениях.
1 Механическая колебательная система с одной степенью свободы
Всякий акустический аппарат представляет собой динамическую систему, в которой тем или иным способом возбуждаются колебания. Одним из таких способов, с которым чаще всего встречаются в технической акустике, является воздействие внешней периодической силы F.
Линейные колебательные системы характеризуются тем, что происходящие в них при этом вынужденные колебания имеют частоту, совпадающую с частотой внешнего воздействия. Такие системы называются линейными в силу того обстоятельства, что их поведение описывается линейными дифференциальными уравнениями. Значение линейных систем в технической акустике связано с требованием неискажённого преобразования колебаний из одних форм другие, а этому требованию могут удовлетворить только линейные системы.
П ростейший пример линейной механической колебательной системы с одной степенью свободы – тело массой т, упруго связанное с положением равновесия, которое может перемещаться без трения вдоль некоторой прямой представлен на рис. 1.
Такая система линейна, если возвращающая сила пропорциональна смещению тела х из положения равновесия:
возвр. сила = .
Знак «минус» указывает, что сила направлена противоположно смещению, поэтому она и называется возвращающей.
Рисунок 1
Коэффициенты и с характеризуют упругость и гибкость системы. Упругость численно равна силе, вызывающей единичное смещение, измеряется в Н/м; гибкость с определяет смещение, вызываемое единичной силой, измеряется в м/Н.
Уравнение собственных (свободных) колебаний системы запишем в виде
, или (1)
где – ускорение тела.
Уравнение движения (1) можно переписать иначе:
, (2)
где . (3)
Общее решение уравнения (2) записывается в комплексном виде как
, (4, а)
а в тригонометрическом виде как: , (4, б)
где – произвольные постоянные.
Решение показывает, что система, возбуждённая начальным толчком и затем предоставленная самой себе, совершает простое гармоническое (незатухающее) колебание, круговая частота ( ) которого определяется по формуле (3) параметрами системы – её массой и гибкостью. Амплитуда колебания С и начальная фаза произвольны и зависят от начальных условий.
Практически свободные колебания будут, конечно, затухать благодаря неизбежному наличию рассеяния энергии. Желая подчеркнуть это обстоятельство, такую систему называют диссипативной.
В линейных системах диссипативные силы (силы сопротивления) пропорциональны скорости движения: , т.е. диссип. сила = – .
Знак минус указывает, что сила направлена к уменьшению скорости. Коэффициент r, численно равный диссипативной силе при единичной скорости, измеряется в Н·с/м и называется активным сопротивлением (физический смысл – коэффициент трения).
Уравнение свободных колебаний диссипативной системы имеет вид
– или = 0 . (6)
Разделив на m и введя дополнительные обозначения = , получим:
= 0 . (7)
Величина = называется коэффициент затухания.
Если линейная система совершает вынужденные колебания под действием внешней периодической синусоидальной силы F, уравнение движения можно представить в виде:
= . (10)
Общее решение уравнения (10) складывается из двух частей:
. (11)
Здесь – собственное затухающее колебание, прекращающееся через некоторый промежуток времени; – вынужденное (стационарное) колебание под действием внешней силы с частотой .
Если решение уравнения представить в виде , то подстановка в уравнение (10) даёт: . Отсюда
.
Интересным является определение скорости вынужденного колебательного движения: . Амплитуда скорости вынужденных колебаний будет равна:
= . (12)
Анализ полученного выражения показывает, что при заданной амплитуде внешней силы, амплитуда скорости вынужденных колебаний зависит от:
параметров системы m, c, r,
частоты внешнего воздействия.
Величина = = называется полным механическим сопротивлением системы.
В комплексной форме механическое сопротивление линейной системы с одной степенью свободы записывается в виде:
= . (13)
Компонентами механического сопротивления линейной системы с одной степенью свободы являются:
- инерциальное сопротивление
- упругое сопротивление (14)
- активное сопротивление .
Частота , при которой инерциальное сопротивление полностью компенсируется упругим сопротивлением, т.е.
, (15)
называется резонансной. На этой частоте скорость имеет наибольшее значение.
Выражения (12) позволяют построить частотные зависимости амплитуд смещения, скорости и ускорения простой колебательной системы. Эти зависимости удобно строить, пользуясь безразмерными представлениями, т.е. отнеся каждую из интересующих величин к какому-нибудь наиболее характерному её значению, или иначе говоря, пронормировав её по этому значению.
Например, вместо круговой частоты удобно пользоваться безразмерной величиной , для чего следует пронормировать по резонансной частоте : . При этом резонансу соответствует значение =1.
Механическое сопротивление также можно представить в безразмерном (нормированном) виде. На резонансной частоте инерциальное ( ) и упругое ( ) сопротивления имеют одинаковую величину. При этом каждое из них равно так называемому характеристическому сопротивлению колебательной системы: .
Действительно, воспользовавшись формулой (15), можно проделать следующее преобразование:
.
Величина является удобным нормирующим коэффициентом для механического сопротивления. При нормировании по появляется отношение вида , называемое добротностью системы. Обратная ей величина, т.е. называется коэффициентом потерь.
Разбив диапазон изменения частоты на три области: ( >1), ( <1) и ( ~1) можно рассмотреть некоторые частные случаи механической системы с одной степенью свободы.
1) Система, управляемая массой. Получается в тех случаях, когда инерциальное сопротивление значительно преобладает над упругим и активным, т.е. ; .
С учетом (3) первое неравенство приводится к виду . С учетом (7) второе неравенство приводится к виду: .
Вывод. Если система имеет низкую собственную частоту и малое затухание, то из числа параметров системы преобладающее значение имеет масса. Полное сопротивление мало отличается от инерциального: ~ ,
; ; ,
т.е. в таком режиме частотно независимым является ускорение.
2) Система, управляемая упругостью. Реализуется при условиях
; ,
или, что то же самое, ; . Последнее неравенство означает, что постоянная времени мала по сравнению с периодом внешней силы. Характерной особенностью такой системы является независимость от частоты ее смещения; скорость и ускорение пропорциональны соответственно первой и второй степени частоты.
Вывод. В системе с высокой собственной частотой преобладающее значение имеет гибкость (или обратная ей величина – упругость). Полное сопротивление мало отличается от упругого: ~ .
3) Система, управляемая сопротивлением.. Характеризуется преобладанием активного сопротивления над реактивным: ~ .
Это случай либо апериодической системы ( , ), либо системы, возбуждаемой частотами, близкими к резонансной частоте, когда реактивное сопротивление мало благодаря взаимной компенсации инерциального и упругого сопротивления: – ~ 0.