1. , С операцией “·”.

2. Пусть g – группа матриц, а – невырожденная матрица.

3. G₁=Z – группа целых чисел с операцией сложения, G₂ =Z_m – группа классов вычетов по модулю m с операцией сложения. : ZZ_m = Z/(m) – гомоморфизм: – по определению классов вычетов.

4. – любая группа, – фактор-группа. Отображение является гомоморфизмом.

 Пусть – некоторый гомоморфизм. Множество назыв. ядром гомоморфизма  и обозначается .

Утверждение 2.10 является нормальным делителем группы g1.

 , , , , , , т.е. – подгруппа G

 Эпиморфизм, который каждому элементу группы ставит в соответствие класс смежности, которому этот элемент принадлежит, назыв. каноническим.

Можно построить фактор-группу , причем æ – канонический эпиморфизм.

ТЕОРЕМА 2.3 (о гомоморфизме) Пусть  – эпиморфизм группы G₁ на группу G₂. Тогда группа G₂ изоморфна фактор-группе :

.

 Пусть a – произвольный элемент группы G₂. Пусть x, y – два прообраза элемента a в G₁: , тогда .

, т.е. y и x принадлежат одному и тому же классу смежности. Ввиду произвольности элементов можем сказать, что прообразом элемента есть класс смежности.

Введем . – биекция, т.к.  – изоморфизм, т.е. 

Если – гомоморфизм, то и .

12. Операции над группами

Утверждение 2.11 Пересечение подгрупп некоторой группы есть подгруппой этой же группы.

 Пусть – набор подгрупп группы G. Рассмотрим их пересечение .

H – подгруппа G

 Объединение подгрупп не всегда есть подгруппой.

Пусть и – два подмножества носителя группы G. Введем следующие множества:

Рассмотрим – пересечение всех подгрупп, носители которых содержат множество М. Очевидно, будет минимальной подгруппой G, содержащей множество M.

 Подгруппа назыв. групповым замыканием множества M.

 Если есть некоторая группа H и для некоторого множества M, то говорят, что группа H порождена множеством M, а M назыв. системой образующих.

 Если – некоторое подмножество носителя группы G, то назыв. словом над A.

содержит и все слова над .

Пусть – подгруппы G. Введем некоторые операции над подгруппами.

 Групповым объединением подгрупп назыв. замыкание объединения подгрупп:

 Прямым (внешним) произведением групп G₁ и G₂ назыв. некоторое подмножество декартового произведения такого, что .

Пример. . .

13. Эндоморфизм и автоморфизм

Рассмотрим изоморфизм . Предположим, что G₂ = G₁. Тогда φ представляет собой подстановку на носителе группы G₁, но φ сохраняет свойство изоморфизма: , причем операция справа и слева равенства одна и та же (см. 5. Понятие изоморфизма).

 Функция , обладающая свойством назыв. эндоморфизмом группы G.

 Биективная функция , обладающая свойством назыв. автоморфизмом группы G.

Рассмотрим операцию суперпозиции: .

Утверждение 2.12 Множество эндоморфизмов некоторой группы образует полугруппу с операцией суперпозиции.

Утверждение 2.13 Множество автоморфизмов некоторой группы образует группу с операцией суперпозиции.

Введем обозначения:

• множество эндоморфизмов некоторой группы: End(G)

• множество автоморфизмов некоторой группы: Aut(G)

Рассмотрим бесконечную циклическую группу Z, построенную на множестве целых чисел с операцией сложения. Пусть μ – некоторый эндоморфизм этой группы, обладающий свойством . Тогда:

,

т.к. .

Очевидно, что , .

Таким образом, между μ и m существует взаимооднозначное соответствие, т.е. для каждого m существует свой эндоморфизм μ_m.

Пусть и – эндоморфизмы. Рассмотрим их суперпрозицию:

,

то есть полугруппа эндоморфизмов группы Z с операцией суперпозиции изоморфна полугруппе целых чисел с операцией умножения.

Несложно заметить, что эндоморфизмы μ₁ и μ_-1 являются автоморфизмами. Т.е. Aut(Z) = {μ₁, μ_-1}.

14. Отношение сопряженности. Центр группы

Теперь рассмотрим некоммутативную группу G.

 Говорят, что элемент сопряжен с элементом в группе G, если : . Обозначим через K_a множество элементов группы G, сопряженных с a:

Утверждение 2.14 Отношение сопряженности является отношением эквивалентности на элементах носителя группы.

 Проверим рефлексивность: , т.е. данное отношение рефлексивно.

Проверим симметричность: , т.е. данное отношение симметрично.

Проверим транзитивность: , т.е. данное отношение транзитивно.

 Множество элементов назыв. центром группы G.

 В коммутативной группе центром являются все элементы.

Введем отображение , .

Утверждение 2.15 Отображение является автоморфизмом группы G.

 – автоморфизм

 Автоморфизм, порожденный элементом группы (отображения вида , ) назыв. внутренним.

Утверждение 2.16 Множество внутренних автоморфизмов группы G образует группу по операции суперпозиции.

Пусть . Тогда

,

т.е. . В качестве единичного элемента выбираем тождественное преобразование . Обратный к элемент определяется равенством :

.

Итак, --группа.

Очевидно, что < Aut(G) при операции суперпозиции.

ТЕОРЕМА 2.4 Множество внутренних автоморфизмов группы G является нормальным делителем группы автоморфизмов Aut(G): .

Рассмотрим отображение , . Оказывается, что оно является эпиморфизмом. Рассмотрим его ядро: Ker , но , т.е. Ker является центром группы G. В результате получаем, что группа изоморфна фактор-группе G/Z по ее центру (см. ТЕОРЕМА 2.3):

Задачи. Пусть . Построить внутренний автоморфизм группы G, заданный: