невырожденные с «+»;
Невырожденные с «·»;
с фиксированным определителем относительно «+»;
диагональные с «+»;
Диагональные с «·»;
Диагональные с ненулевыми элементами, «∙».
8. Подгруппы. Разложения группы по подгруппам
Пусть задана группа G. Говорят, что H – подгруппа группы G ( ), если выполняются условия:
;
Примеры.
H = {1} – подгруппа (сама группа есть подгруппой).
– множество подстановок на множестве М.
– множество четных подстановок.
Пусть задана группа G и H – подгруппа G. Говорят, что , если или для некоторого h.
Данное отношение является отношением эквивалентности:
x = 1·x, 1 H.
y = hx, h H x = h-1·x, h-1 H 2.
3.
Таким образом получаем разбиение группы G на классы эквивалентности, которые назыв. правыми классами смежности, а разбиение назыв. правым разложением.
Утверждение 2.4 Если g – некоторый представитель правого класса смежности, то все его элементы записываются в виде h∙g, h H. Обозначение: Hg.
Докажем от обратного: пусть существует y – из класса смежности Hg такое, что y hg, h H, но – противоречие, то есть все элементы класса можно записать в виде hg Hg
Если группа конечна, то классов смежности – конечное число:
Возьмем и построим отображение след. образом: .
Утверждение 2.5 Отображение g – биекция.
Докажем инъективность. От обратного: – противоречие, то есть g – инъекция.
Докажем сюръективность. От обратного: , т.е. h1 Hg – противоречие. Значитg – сюръекция.
Из 1. и 2. следует, что g – биекция.
ТЕОРЕМА 2.2 (Лагранжа) Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Пусть , тогда , где k – число правых классов смежности.
Число классов смежности назыв. индексом подгруппы и обозначается G:H. Его можно определить, разделив порядок группы на порядок подгруппы и тогда теорема Лагранжа может быть записана след. образом: .
Правым сдвигом группы G назыв. Gg.
Утверждение 2.6 Если и – два произвольных правых класса смежности, то существует некоторый правый сдвиг группы G, отображающий на .
Говорят, что , если или для некоторого .
Классы giH назыв. левыми классами смежности.
Примеры.
Пусть , ; , .
G:H = 2, т.е. , где g – нечетная подстановка. .
Пусть , а .
G:H = 3 |G| = 6 |H|=2
Тогда , .
Если N – подгруппа G такая, что правые и левые разложения по этой подгруппе совпадают, то N назыв. нормальным делителем группы G и обозначается .
9. Циклическая подгруппа
Возьмем любой элемент группы G и рассмотрим множество . Это множество будет образовывать подгруппы G, порожденные элементом g.
Для конечной группы всегда существует такое m Z, что различными будут только , а . Такое m назыв. порядком элемента: Or(g). Для циклических подгрупп |(g)| = Or(g).
Утверждение 2.7 Порядок элемента циклической подгруппы является делителем порядка группы.
Группа назыв. простейшей, если у нее нет нетривиальных подгрупп.
10. Фактор-группа
Введем след. операцию над классами: , где – класс смежности, содержащий элемент .
Утверждение 2.8 Если , и – нормальный делитель группы, то .
Утверждение 2.9 Если из и следует, что , причем то же самое выполняется и для левого разложения, то .
Таким образом, при введенной операции классы смежности образуют группу, которая назыв. фактор-группой и обозначается .
11. Гомоморфизм и эпиморфизм
Отображение назыв. гомоморфизмом группы G1 в группу G2, если .
Гомоморфизм обладает точно таким же свойством, как и изоморфизм, но функция гомоморфизма не обязательно биективна.
Отображение на группу (сюръективное отображение) назыв. эпиморфизмом.
Примеры.