4. Представьте заштрихованные области формулами теории множеств, упрощая, если возможно.

Тема 9. Отображение и отношение множеств

Пусть X и Y - два множества. Если каждому элементу x множества X поставлен в соответствие некоторый элемент f(x) множества Y, то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y. Обозначение: f: X  Y. При этом, если f(x) = y, то элемент y называется образом элемента x при отображении f, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f ^-1.

Отображение f: X  Y является сюръективным, если каждый элемент yY имеет хотя бы один прообраз.

Отображение f: X  Y называется инъективным, если для любого элемента yY существует не более одного прообраза.

Если отображение f сюръективно и инъективно одновременно, то оно называется биективным (взаимно однозначным соответствием).

 Пусть f: X  Y и g: Y Z - два отображения. Зададим правило h, применение которого к элементу x из X состоит в том, что мы применяем к x правило f, затем к результату f(x) применяем второе правило g, получая в итоге g(f(x)). То есть h(x) = g(f(x)). Полученное отображение h: X  Z называют композицией отображений g и f и обозначают h = g ° f. Тогда g ° f(x) = g(f(x)).

Декартово произведение двух множеств А и В - множество упорядоченных пар <a, b> таких, что aÎA и bÎB. Мощность декартова произведения равна произведению мощностей исходных множеств.

Бинарное отношение множеств А и В - подмножество декартового произведения А на В. Область определения отношения (левая область отношения) - множество всех первых элементов пар отношения. Область значений отношения (правая область отношения) - множество всех вторых элементов пар отношения.

Отношение эквивалентности - отношение, являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Рефлексивное отношение на множестве А - отношение, которое справедливо для каждого элемента множества А как отношение этого элемента к самому себе. Например =, ³ - рефлексивные, ¹, > - нерефлексивные.

Симметричное отношение - отношение, результат которого не меняется при перестановке операндов. Транзитивное отношение на множестве А - такое отношение, из справедливости которого для первого и второго операнда и справедливости для второго и третьего операнда следует справедливость этого отношения для первого и третьего операндов, при условии, что все операнды являются любыми элементами множества А.

Класс эквивалентности R - набор элементов множества, для которых эквивалентное отношение R будет давать одинаковый результат.

1. Выясните, является ли заданное соответствие f: {10,20,30,40}  {а,б,в,г} отображением и если да, то найдите f({10,40}), f({10,20,30}), f - 1(б), f - 1 ({а,в}), f - 1 ({б,в,г}).

1 0 а 2 0 б 3 0 в 40 г	10 а 2 0 б 30 в 4 0 г	1 0 а 2 0 б 3 0 в 40 г	1 0 а 20 б 3 0 в 40 г	1 0 а 2 0 б 30 в 40 г
10 а 2 0 б 30 в 4 0 г	10 а 2 0 б 3 0 в 40 г	10 а 2 0 б 3 0 в 40 г	10 а 2 0 б 3 0 в 40 г	1 0 а 2 0 б 3 0 в 40 г

2. Найдите декартово произведение множеств С = А  В:

A={1,2,3}; В={7,8,9};	A={2,3,4,9}; В={1,7};
A= {1,7}; В ={2,4,6,8}	A={3,5,10}; В={2,8,9};
A={2,3,4,5}; В ={6,10}	A={5,6}; В={1,7,9,2};
A={10,1,2}; В={1,2,8};	A={10,11,12}; В={2,8,9};
A={6,9}; В={1,2,3,5};	A={2,3,5,6}; В={9,12};