ЭТНМ - Лабораторная работа №5

Лабораторная работа №5

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

1 Цель работы

Получить практические навыки нахождения расстояния между нечеткими множествами, определения степени нечеткости множеств.

2 Порядок выполнения работы

2.1Изучить краткую теорию лабораторной работы (раздел 4).

2.2Ознакомиться с предложенными примерами (раздел 5).

2.3Получить задание на выполнение лабораторной работы (раздел 6) согласно своему варианту.

2.4Выполнить задание аналогично примерам. Ответы к заданиям 1-2 сократить до третьего знака после запятой (до тысячных, например: 0,256). Ответы к заданию 3 сократить до второго знака после запятой (до сотых, например: 0,25).

2.5Ответить на контрольные вопросы (раздел 7).

2.6Составить и защитить отчет о работе у преподавателя.

3 Содержание отчета

наименование и цель работы;

задание на лабораторную работу согласно варианту;

результат выполнения задания.

4 Краткая теория

4.1 Условные обозначения

4.3 Евклидовы нормы (не являются расстояниями)

n

абсолютная: e2 ( A, B) ( A (xi ) B (xi ))2 ;

i 1

4.4 Обычное множество, ближайшее к нечеткому

Пусть A – НМ. Обычное множество A E с характеристической функцией A(xi):

называется ближайшим к НМ A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A (или имеет наименьшую норму).

4.5 Индексы нечеткости (метрический подход)

где р = 1, 2, … – степень нечеткости.

На основе этого выражения выводится выражение для определения

5 Примеры выполнения заданий

НМ А и В заданы таблично:

5.1 Найти:

абсолютное и относительное расстояния Хемминга;

абсолютное и относительное Евклидовы расстояния;

абсолютную и относительную Евклидовы нормы между данными множествами.

Решение.

а) Чтобы найти абсолютное расстояние Хемминга (или линейное расстояние) между НМ, нужно найти сумму модулей разностей значений ФП каждой пары элементов НМ, т.е.

d(A, B) = |0,3 – 0,8| + |0,6 – 1| + |0,2 – 0,4| + |0 – 0,7| + |0,9 – 0,6| = = 0,5 + 0,4 + 0,2 + 0,7 + 0,3 = 2,1.

б) Чтобы найти относительное расстояние Хемминга, нужно найденное абсолютное расстояние разделить на мощность НМ. Мощность в данном случае – это количество элементов во множествах, т.е. 5. Таким образом:

(A, B) = d(A, B) / 5 = 2,1 / 5 = 0,42.

в) Для нахождения абсолютного Евклидова (или квадратичного) расстояния надо найти сумму квадратов разностей значений ФП каждой пары элементов НМ, а затем извлечь из нее корень. Получаем:

e(A, B) = ((0,3 – 0,8)2 + (0,6 – 1)2 + (0,2 – 0,4)2 + (0 – 0,7)2 + (0,9 –

– 0,6)2)1/2 = ((–0,5)2 + (–0,4)2 + (–0,2)2 + (–0,7)2 + 0,32)1/2 = (0,25 + + 0,16 + 0,04 + 0,49 + 0,09)1/2 = 1,031/2 = 1,015.

г) Относительное Евклидово расстояние считается путем деления найденного абсолютного Евклидова расстояния на n, где n – мощность НМ. Таким образом:

(A, B) = e(A, B) / 5 = 1,015 / 2,236 = 0,454.

д) Абсолютная Евклидова норма представляет собой сумму квадратов разностей значений ФП каждой пары элементов НМ, т.е. то же Евклидово расстояние (уже посчитанное нами ранее), но до извлечения из него корня. Т.е.

e2(A, B) = 1,03.

е) Относительную Евклидову норму можно получить из абсолютной, поделив ее на мощность НМ:

2(A, B) = 1,03 / 5 = 0,206.

5.2 Найти линейный и квадратичный индексы нечеткости каждого НМ. Определить, какое из множеств является более четким, а какое – более нечетким.

Решение.

а) Прежде чем считать индексы нечеткости, нужно сначала определить обычные множества, ближайшие к нечетким, для каждого НМ. Для этого значение ФП каждого элемента НМ нужно заменить на 0, если исходное значение ФП 0,5, и на 1 в противном случае. Так, для НМ А А(х1) = 0,3 ( 0,5), следовательно, А(х1) = 0. Для второго элемента: А(х2) = 0,6 (> 0,5), следовательно, А(х2) = 1. Итого получаем:

б) Далее нужно определить линейное расстояние между исходным НМ и обычным множеством, ближайшим к нечеткому. Для НМ А имеем:

d(A, A) = |0,3 – 0| + |0,6 – 1| + |0,2 – 0| + |0 – 0| + |0,9 – 1| = 0,3 + 0,4 +

+0,2 + 0 + 0,1 = 1.

Для НМ В:

d(B, B) = |0,8 – 1| + |1 – 1| + |0,4 – 0| + |0,7 – 1| + |0,6 – 1| = 0,2 + 0 +

+0,4 + 0,3 + 0,4 = 1,3.

в) Чтобы определить линейный индекс нечеткости, нужно полученное линейное расстояние умножить на 2 и разделить на мощность НМ (в нашем случае на 5). Тогда получаем:

(A) = d(A, A) 2 / n = 1 2 / 5 = 0,4;(B) = d(B, B) 2 / n = 1,3 2 / 5 = 0,52.

г) Найдем квадратичное расстояние между исходным НМ и обычным

множеством, ближайшим к нечеткому. Для НМ А имеем:

e(A, A) = ((0,3 – 0)2 + (0,6 – 1)2 + (0,2 – 0)2 + (0 – 0)2 + (0,9 – 1)2)1/2 =

=(0,32 + 0,42 + 0,22 + 02 + 0,12)1/2 = (0,09 + 0,16 + 0,04 + 0 + 0,01)1/2 =

=0,31/2 = 0,548.

Для НМ В:

e(B, B) = ((0,8 – 1)2 + (1 – 1)2 + (0,4 – 0)2 + (0,7 – 1)2 + (0,6 – 1)2)1/2 =

=(0,22 + 02 + 0,42 + 0,32 + 0,42)1/2 = (0,04 + 0 + 0,16 + 0,09 + 0,16)1/2 =

=0,451/2 = 0,671.

д) Для нахождения квадратичного индекса нечеткости надо полученные значения квадратичных расстояний умножить на 2 и поделить наn, где n – мощность НМ. Таким образом:

(A) = e(A, A) 2 / n = 0,548 2 / 5 = 0,49(B) = e(B, B) 2 / n = 0,671 2 / 5 = 0,6

е) После сравнения индексов нечеткости множеств А и В можно сделать вывод, что более четким является НМ А (где индексы нечеткости меньше), а более нечетким – НМ В (индексы нечеткости больше).

5.3 Найти векторный индикатор нечеткости множеств А и В.

Решение.

Векторным индикатором нечеткости является НМ, ФП которого вычисляется по формуле 2 A A ( xi ) . Т.е. для исходного НМ нужно найти его

дополнение (вычесть значение ФП из единицы), а затем пересечение этого дополнения с исходным значением (минимум). Так, для элемента х1 НМ А значение ФП векторного индикатора нечеткости будет вычисляться так:

(x1) = 2 min(0,3; 1 – 0,3) = 2 min(0,3; 0,7) = 2 0,3 = 0,6

Для элемента х2:

(x2) = 2 min(0,6; 1 – 0,6) = 2 min(0,6; 0,4) = 2 0,4 = 0,8

В результате получим:

5.4 Оценить нечеткость множеств А и В через энтропию.

Решение.

а) Сначала необходимо найти суммы всех значений ФП множеств:

A(xi) = 0,3 + 0,6 + 0,2 + 0 + 0,9 = 2;B(xi) = 0,8 + 1 + 0,4 + 0,7 + 0,6 = 3,5.

б) Далее, для определения вероятностей (xi) нужно каждое значение ФП НМ разделить на полученную сумму для данного множества. Так, для НМ А получаем:

A(x1) = 0,3 / 2 = 0,15;A(x2) = 0,6 / 2 = 0,3.

и т.д.

Итого, для НМ А и В имеем:

в) Для определения нечеткости через энтропию требуется также получить значения натуральных логарифмов от (xi), а также произведения этих логарифмов на (xi). Например, для элемента х1 НМ А получаем:

ln A(xi) = ln 0,15 = –1,897;

A(xi) ln A(xi) = 0,15 (–1,897) = –0,285.

Вычисления для остальных элементов НМ приведены в таблице:

г) Чтобы найти нечеткость через энтропию, нужно найти суммы полученных произведений, разделить их на натуральный логарифм от мощности НМ и изменить знак полученного числа. Получаем:

HA = –1 / ln 5 ((–0,285) + (–0,361) + (–0,23) + 0 + (–0,36)) = = –1 / 1,609 (–1,236) = 0,768

HB = –1 / ln 5 ((–0,338) + (–0,358) + (–0,248) + (–0,322) + (–0,302))= = –1 / 1,609 (–1,568) = 0,975

Таким образом, по данному критерию более нечетким также оказалось множество В.

5.5 Определить меры нечеткости Ягера каждого множества при степени нечеткости p = 2.

Решение.

а) Прежде всего, нужно определить меру четкости каждого множества. Сначала нужно найти модули разностей между значениями ФП исходных множеств и ФП дополнения к ним, а затем возвести эти разности в степень p. Так, для элемента х1 НМ А имеем:

A(x1) = 0,3 A(x1) = 0,7

| A(x1) – A(x1)| = 0,4

| A(x1) – A(x1)|p = 0,42 = 0,16

Вычисления для остальных элементов множеств показаны в таблице:

б) Чтобы определить меру четкости, надо найти сумму полученных коэффициентов, извлечь из нее корень степени p и поделить на мощность НМ. Таким образом, получаем:

Dp(A, A) = 1 / 5 (0,16 + 0,04 + 0,36 + 1 + 0,64)1/2 = 0,2 2,21/2 =

= 0,2 1,483 = 0,297;

Dp(B, B) = 1 / 5 (0,32 + 1 + 0,04 + 0,16 + 0,04)1/2 = 0,2 1,561/2 = = 0,2 1,249 = 0,25.

в) Мера нечеткости Ягера считается путем деления полученной меры четкости НМ на корень степени p из мощности множества и последующего вычитания полученного значения из единицы:

dp(A, A) = 1 – Dp(A, A) / n1/p = 1 – 0,297 / 51/2 = 1 – 0,297 / 2,236 = = 1 – 0,133 = 0,867;

dp(B, B) = 1 – Dp(B, B) / n1/p = 1 – 0,25 / 51/2 = 1 – 0,25 / 2,236 = = 1 – 0,112 = 0,888.

По данному коэффициенту нечеткости также более нечетким получается множество В.

6 Задания для самостоятельной работы

Вариант № 1

1. НАЙТИ:

-абсолютное расстояние Хемминга;

-относительное расстояние Хемминга;

-абсолютное Евклидово расстояние;

-относительное Евклидово расстояние;

-абсолютную Евклидову норму;

-относительную Евклидову норму;

между следующими парами нечетких множеств: A и C, B и E, B и C, B и D, C

и D, A и B, C и E.

ВОПРОС: Какие множества наиболее удалены друг от друга?

2. НАЙТИ (ОЦЕНИТЬ):

-линейный индекс нечеткости;

-квадратичный индекс нечеткости;

-нечеткость через энтропию;

-меру четкости и меру НЕчеткости Ягера при степени нечеткости р = 4. для следующих нечетких множеств: A, C, D, B.

ВОПРОСЫ:

2.1 Какое исходное НМ является более четким? 2.2. Какое исходное НМ является более нечетким?

3. НАЙТИ векторный индикатор нечеткости для множеств из задания 2.

Вариант № 2

1. НАЙТИ:

-абсолютное расстояние Хемминга;

-относительное расстояние Хемминга;

-абсолютное Евклидово расстояние;

-относительное Евклидово расстояние;

-абсолютную Евклидову норму;

-относительную Евклидову норму;

между следующими парами нечетких множеств: A и E, A и B, B и D, A и D, A и C, B и E, C и D.

ВОПРОС: Какие множества наиболее удалены друг от друга?

2. НАЙТИ (ОЦЕНИТЬ):

-линейный индекс нечеткости;

-квадратичный индекс нечеткости;

-нечеткость через энтропию;

-меру четкости и меру НЕчеткости Ягера при степени нечеткости р = 4. для следующих нечетких множеств: A, C, D, B.

ВОПРОСЫ:

2.1 Какое исходное НМ является более четким? 2.2. Какое исходное НМ является более нечетким?

3. НАЙТИ векторный индикатор нечеткости для множеств из задания 2.

Вариант № 3

1. НАЙТИ:

-абсолютное расстояние Хемминга;

-относительное расстояние Хемминга;

-абсолютное Евклидово расстояние;

-относительное Евклидово расстояние;

-абсолютную Евклидову норму;

-относительную Евклидову норму;

между следующими парами нечетких множеств: A и E, B и C, B и E, C и D, A

и C, C и E, A и D.

ВОПРОС: Какие множества наиболее удалены друг от друга?

2. НАЙТИ (ОЦЕНИТЬ):

-линейный индекс нечеткости;

-квадратичный индекс нечеткости;

-нечеткость через энтропию;

-меру четкости и меру НЕчеткости Ягера при степени нечеткости р = 4. для следующих нечетких множеств: B, C, D, A.

ВОПРОСЫ:

2.1 Какое исходное НМ является более четким? 2.2. Какое исходное НМ является более нечетким?

3. НАЙТИ векторный индикатор нечеткости для множеств из задания 2.

Вариант № 4