ЭТНМ - Лабораторная работа №6

Лабораторная работа №6

Нечеткие множества, индуцированные отображением. Условные нечеткие подмножества

НМ, индуцированное отображением

Закон L, согласно которому каждому элементу хX соответствует элемент yY со степенью принадлежности L(x,y), называется отображением множества X в множество

Y.

Примечание. X – область определения отображения; Y – область значений отображения.

■ Пусть А(х) – ФП НМ АX, тогда отображение L индуцирует в Y НМ ВY с ФП

B(y):

Условные нечеткие подмножества

Пусть А – некоторое НМ, заданное на Х, т.е. определена ФП A(x) для х Х. Тогда НМ А и НО R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией

принадлежности В(y):

B ( y) max min[ A (x), R (x, y)]

x X

Обозначение: B = A R.

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

1. Даны УМ E1 = {x1, x2, x3, x4} и E2 = {y1, y2, y3}. На УМ E1 задано НМ A: A = x1/0,6 + x2/0,2 + x3/0,9 + x4/0,5.

Также задано отображение L множества Е1 в множество Е2:

L{x1} = {y3} L{x2} = {y1, y3}

L{x3} = {y2, y3}

L{x4} = {y1, y2}

Найти НМ B на УМ E2, индуцированное отображением L.

Решение.

Чтобы найти НМ, индуцированное отображением, нужно сначала определить обратное отображение L-1. Для этого для каждого элемента НМ B нужно найти его в отображении L и выписать те элементы НМ А, для которых он встречается. Например, элемент y1 встречается для элементов x2, x4, следовательно: L-1{y1} = {x2, x4} и т.д.

Таким образом, обратное отображение будет выглядеть так:

L-1{y1} = {x2, x4} L-1{y2} = {x3, x4} L-1{y3} = {x1, x2, x3}

Далее, чтобы определить степени принадлежности элементов НМ В, нужно выбрать максимумы из ФП тех элементов множества А, которые соответствуют данному элементу из В. Например:

B(y1) = max(A(x2); A(x4)) = max(0,2; 0,5) = 0,5

и т.д.

Итого, получаем:

B = y1/0,5 + y2/0,9 + y3/0,9.

2. Даны НМ А и НО R:

A = x1/0,3 + x2/0,8 + x2/0,5 + x4/0,7

Найти условное нечеткое множество, индуцированное нечетким множеством А и нечетким отношением R.

Решение.

Для нахождения условного НМ нужно найти максиминную композицию НМ A и НО R (НМ в данном случае рассматривается как НО с размерностью 1 4). В результате получится НО с размерностью 3 1, которое и будет рассматриваться как НМ из трех элементов.

Находим максиминную композицию:

B(y1) = max[min(0,3; 0,4), min(0,8; 0,5), min(0,5; 0,2), min(0,7; 0,8)] = = max(0,3; 0,5; 0,2; 0,7) = 0,7;

B(y2) = max[min(0,3; 1), min(0,8; 0,7), min(0,5; 0,6), min(0,7; 0,3)] = = max(0,3; 0,7; 0,5; 0,3) = 0,7;

B(y3) = max[min(0,3; 0,2), min(0,8; 0), min(0,5; 0,5), min(0,7; 0,9)] =

=max(0,2; 0; 0,5; 0,7) = 0,7.

Врезультате получаем:

B = y1/0,7 + y2/0,7 + y3/0,7.

3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 01

Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b2;b3;b4}

a2 :{ b1;b2;b4;b5;b6}

a3 :{ b2;b3;b4;b5;b6}

a4 :{ b2;b3;b4}

a5 :{ b1;b2;b3;b4;b6;b7}

a6 :{ b1;b3;b6;b7}

a7 :{ b1;b2;b4;b5}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 02

Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 6 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b2}

a2 :{ b1}

a3 :{ b1}

a4 :{ b1;b2;b3}

a5 :{ b1}

a6 :{ b1}

a7 :{ b1}

a8 :{ b1;b2}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 03

Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ b1;b2}

x2 :{ b2}

x3 :{ b1}

x4 :{ b3;b4;b5}

x5 :{ b1}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 04

Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b1;b2}

a2 :{ b2;b4;b5}

a3 :{ b1;b2;b3;b4}

a4 :{ b1}

a5 :{ b1;b2;b3}

a6 :{ b1;b2}

a7 :{ b1}

a8 :{ b1;b2;b4;b5}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 05

Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b1}

a2 :{ b1;b2;b3}

a3 :{ b1;b2;b3;b4;b5}

a4 :{ b1;b3}

a5 :{ b2;b3;b4;b5;b6}

a6 :{ b1;b2;b4;b5}

a7 :{ b1;b3;b4}

a8 :{ b1;b2}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 06

Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b1;b2}

a2 :{ b1}

a3 :{ b1;b2;b3;b4}

a4 :{ b1;b4}

a5 :{ b1;b2;b3;b4}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 07

Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ b1;b2;b3}

x2 :{ b2}

x3 :{ b1}

x4 :{ b2;b3}

x5 :{ b1;b2;b3}

x6 :{ b2;b4;b5}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 08

Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ y1}

a2 :{ y1}

a3 :{ y2;y3;y4;y6;y7}

a4 :{ y1;y2}

a5 :{ y1;y2;y3}

a6 :{ y1;y2;y3}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 09

Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ y1;y2;y3;y4}

x2 :{ y3;y4;y5;y6;y7}

x3 :{ y1;y3;y4}

x4 :{ y1;y2;y4;y6}

x5 :{ y2;y3;y5;y6}

x6 :{ y2;y6;y7}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 10

Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 5 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ b3}

x2 :{ b1;b4;b5}

x3 :{ b1}

x4 :{ b1;b2;b3}

x5 :{ b2;b3}

x6 :{ b1}

x7 :{ b1;b2}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 11

Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ y1}

a2 :{ y1;y4;y5;y6}

a3 :{ y1;y3;y4}

a4 :{ y1;y4;y5;y8}

a5 :{ y1;y3;y5;y6;y7;y8}

a6 :{ y1;y2;y3}

a7 :{ y1;y2;y3;y4}

a8 :{ y1;y2}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 12

Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ b1}

x2 :{ b1;b3}

x3 :{ b1;b2;b4}

x4 :{ b1;b2;b3}

x5 :{ b1;b2;b3}

x6 :{ b1;b2;b3;b6;b7}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 13

Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ b1;b2;b3;b5}

x2 :{ b1}

x3 :{ b1;b2}

x4 :{ b1;b3;b4;b5}

x5 :{ b2}

x6 :{ b1;b2;b5}

x7 :{ b1}

}

x1 :{ y1;y2}

x2 :{ y2}

x3 :{ y1;y2;y4}

x4 :{ y1;y2}

x5 :{ y2;y3}

x6 :{ y1}

x7 :{ y1;y3}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 17

Мощность заданного множества: 7 Мощность искомого множества: 8 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ y1;y3;y4;y6;y7;y8}

x2 :{ y1;y2;y3;y4}

x3 :{ y2;y3}

x4 :{ y2;y4;y5}

x5 :{ y1}

x6 :{ y1;y2;y4;y5}

x7 :{ y5;y6;y7;y8}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 18

Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ y1;y2}

x2 :{ y1;y3;y4}

x3 :{ y1;y3;y4;y5}

x4 :{ y1}

x5 :{ y1;y2;y3;y4;y7}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 19

Мощность заданного множества: 5 Мощность искомого множества: 6

Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b2}

a2 :{ b2}

a3 :{ b2;b4;b5}

a4 :{ b1}

a5 :{ b1}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 20

Мощность заданного множества: 8 Мощность искомого множества: 7 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

a1 :{ b2;b3;b4;b5}

a2 :{ b1}

a3 :{ b1;b2;b4}

a4 :{ b1}

a5 :{ b1}

a6 :{ b2}

a7 :{ b3;b4;b5;b6}

a8 :{ b1}

}

Задание: найти нечеткое множество, индуцированное отображением. Найти обратное отображение.

Вариант 21

Мощность заданного множества: 6 Мощность искомого множества: 6 Нечеткое множество:

Отображение

L:

{

x1 :{ b2;b3}

x2 :{ b1;b2;b3}

x3 :{ b1;b2;b3;b4}

x4 :{ b3;b4;b5;b6}

x5 :{ b3;b4}

x6 :{ b2}

}