2. Использование аппроксимации реальной характеристики передачи усилителя по ю. Б. Кобзареву для 11 равноотстоящих точек напряжений смещения
2.1.Таблица для вычисления коэффициентов полинома
В [23] отмечается, что в случае, когда характеристика нелинейного элемента аппроксимируется выражением, содержащим более трех точек, значение функции целесообразно выбирать при равноотстоящих значениях аргумента. Кроме того, если число заданных точек превышает число подлежащих определению коэффициентов аппроксимации, рекомендуется использовать «метод наименьших квадратов», при котором среднеквадратичная ошибка минимальна, т.е. при этом способе сумма квадратов отклонений полинома данной степени от кривой является наименьшей.
В соответствии с этим, несмотря на существующие компьютерные программы, целесообразно привести краткую рецептуру пользования этим методом, что позволит студенту осмыслить математическую суть метода и с помощью простых микрокалькуляторов выполнить любую аппроксимацию за оптимально короткое время.
В [24] показано, что вычислить коэффициенты полинома по способу наименьших квадратов наиболее рационально с помощью введенных Ю.Б. Кобзаревым ортогональных полиномов для заданного числа N – равноотстоящих точек.
Обозначим
через
полином степени l.
Тогда система полиномов будет ортогональной
для данного числа точек, если при любых
выполняется равенство
.
(12)
Воспользовавшись
известными ортогональными многочленами
Чебышева по методу Ю.Б. Кобзарева в [24]
найдены пять, а в [13] все семь полиномов,
образующих такую систему на отрезке
для N=11
равноотстоящих точек [37, 39, 40], т.е. при
;
–0,8; … 0 … 0,8; 1,0 имеем:
(13)
Система
(13) ортогональных полиномов обладает
тем замечательным свойством, что
разложение по ним любой заданной функции
дает наилучшее приближение в смысле
наименьших квадратов. Поэтому вместо,
например, выражения (14) коэффициента
передачи по степеням напряжения
с неизвестными коэффициентами, можно
записать его, представив в виде суммы
(15) рассмотренных выше полиномов:
,
(14)
.
(15)
Здесь
Р
– степень полинома; р
– целое число, равное номеру слагаемого;
– коэффициент, имеющий размерность
,
который можно назвать крутизной порядка
р,
т.е.
есть крутизна нулевого порядка,
– первого порядка и т.д.
Входящая
сюда величина х
пропорциональна напряжению
,
отсчитываемому от середины участка
аппроксимации
,
т.е. при изменении
в пределах
,
х
меняется от –1 до 1, поэтому
.
(16)
Для
определения коэффициента
в (15) умножим обе части равенства на
полином
и просуммируем по всем точкам
.
Тогда, используя свойство ортогональности
(12), находим
.
(17)
Отсюда
,
(18)
где
– нормированный полином
.
(19)
Так
как нулевому узлу соответствует левый
конец участка аппроксимации, т.е.
,
то сумму (18) удобно разбить на суммы, где
х<0
и х>0,
так как четные полиномы (р
=
0, 2, 4, 6) на этих участках ничем не
отличаются, а нечетные (р=1,
3, 5, 7) отличаются лишь знаками. В связи
с этим целесообразно ввести нечетную
и четную
компоненты коэффициента усиления К:
(20)
где
- шаг изменения х
(в нашем случае при N=11
);
-
величина коэффициента усиления в точках
.
Теперь вместо сумм по положительным и отрицательным значениям можно взять суммы только по положительным с использованием четной и нечетной составляющей коэффициента усиления. Тогда
(21)
Сведя
в табл. 1 значения коэффициентов
нормированных полиномов
и используя их, легко найти коэффициенты
по формулам (21), далее в (15) сгруппировать
члены по степеням х
и перейти к представлению коэффициента
усиления в виде полинома по степеням
.
Коэффициенты этого полинома будут
подобраны наилучшим в смысле наименьших
квадратов способом, при котором
экспериментальная кривая
будет практически сливаться с теоретической
кривой
.
Вычисление коэффициентов полинома, используемого при гармоническом анализе для определения коэффициентов и параметров нелинейности и, в конечном итоге, для выбора оптимального режима усилительного прибора рассмотрим на конкретном примере задания.
Таблица 1
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,000000 |
-0,291375 |
0,000000 |
1,092658 |
0,000000 |
-5,1062086 |
0,000000 |
0,2 |
0,0454545 |
-0,262238 |
-0,339938 |
0,728439 |
2,003205 |
-1,5318624 |
-12,765522 |
0,4 |
0,0909091 |
-0,174825 |
-0,558470 |
-0,182110 |
2,003205 |
4,5955891 |
-0,9118072 |
0,6 |
0,1363636 |
-0,029138 |
-0,534189 |
-1,092658 |
-0,500801 |
3,7020048 |
15,045106 |
0,8 |
0,1818182 |
0,174825 |
-0,145688 |
-1,092658 |
-3,004808 |
-6,1274442 |
-10,485929 |
1,0 |
0,2272727 |
0,437063 |
0,728439 |
1,092658 |
1,502404 |
1,9148344 |
2,2795937 |
