Тема 3. Формула Байеса и формула полной вероятности

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

2. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника—0,9, для велосипедиста—0,8 и для бегуна—0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

4. Некто нашел чужую пластиковую карточку банкомата. Найти вероятность того, что двух попыток, предоставляемых банкоматом, хватит для того, чтобы отгадать неизвестный ему четырехзначный код.

5. Имеются три одинаковые урны. В первой урне a белых и b черных шаров, во второй c белых и d черных, а в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

6. В условиях предыдущей задачи из первой урны во вторую не глядя переложили один шар и только потом стали вытаскивать шарик.

7. В условиях первой задачи из урны достали белый шарик. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.

8. В автобусе едет n пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью р. Кроме того, в автобус с вероятностью p1 не входит ни один новый пассажир, а с вероятностью (1-р1) – один новый пассажир. Найти вероятность того, что после одной остановки в автобусе снова будет n пассажиров.

9. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что после одной остановки количество пассажиров автобуса будет отличаться от n.

10. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство, а второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом равна 0,9, а второго – 0,8. Определить надежность прибора, поступившего на производство.

11. Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если погода позволяет, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки р1. Если аэродром затянут низкой облачностью, то летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки Р. Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с очень малой вероятностью р2. Найти вероятность благополучной посадки, если известно, что в k% всех случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью.

12. В условиях предыдущей задачи самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что он сажал самолет по приборам.

13. На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, один — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, удовлетворительно — на 10, плохо — на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

14. Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели. Вероятность попадания в первую цель равна p1, а во вторую р2. После выстрела получено известие, что первая цель не поражена. Какова вероятность того, что произошло попадание во вторую цель?

15. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй —6, из третьей группы—5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп, вероятнее всего, он принадлежал?