Тема 2. Условная вероятность, теорема умножения вероятностей, формула полной вероятности.

1. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события A_i – попадание при i-ом выстреле (i=1,2,3). Представить в виде сумм, произведений событий A_i и следующие события: А – все три попадания, B – все три промаха, C – хотя бы одно попадание, D – хотя бы один промах, E – не меньше двух попаданий, F – не больше одного попадания, G – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.

2. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: A – обнаружен ровно один из четырех объектов, B – обнаружен хотя бы один объект, C – обнаружено не менее двух объектов, D – обнаружено ровно два объекта, E – обнаружено ровно три объекта, F – обнаружены все четыре объекта.

Указать, в чем состоят события: A+B, AB, B+C, BC, D+E+F, BF. Совпадают ли события BF и CF, совпадают ли события BC и D.

3. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

4. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два – пустые. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После чего нажимается спусковой крючок. Если ячейка была пустая, то выстрела не происходит. Найти вероятность а)того, что выстрела не будет два раза подряд б) два раза подряд будет выстрел

5. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при n циклах объект будет обнаружен.

6. Для повышения надежности прибора он дублируется (n-1) другими такими же приборами (все подключены параллельно). Надежность каждого прибора равна р. Найти надежность Р системы. Сколько надо взять приборов, чтобы повысить надежность до заданной Р1?

7. Из полной колоды карт (52) вынимаются сразу две карты. Одну из них смотрят – она оказалась дамой. После этого две вынутые карты перемешивают, и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.

8. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

9. Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковые номера обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятности событий: А – каждый гость наденет свои калоши, В – каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (не обязательно свои).

10. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка р₁, для второго р₂. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность Р₁ того, что выиграет первый стрелок.

11. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: А – выпадение герба на первой монете, D – выпадение хотя бы одного герба, E – выпадение хотя бы одной цифры, F – выпадение герба на второй монете. Определить, зависимы ли события: А и Е, А и F, D и Е, D и F.

12. Из полной колоды карт (52) вынимается одна. Рассматриваются события: А – появление туза, B – появление карты красной масти, C – появление бубнового туза, D – появление десятки. Зависимы ли следующие события: A и B, A и С, В и С, В и D, С и D.