12. Определить ток i3 в третьей ветви методом эквивалентного генератора

Важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике или теорема Гельмгольца – Тевенена).

Он формулируется следующим образом:

любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника.

П рименим принцип эквивалентного генератора для определения тока I₃ в третьей ветви нашей электрической цепи. Для этого выделяем активный двухполюсник и ветвь с ЭДС E₃ и сопротивление R₃ рис. 36:

Д алее можно получить эквивалентную схему, заменив активный двухполюсник источником ЭДС – Е_эг – эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления – R_внэг.

Теперь легко найти ток I₃ в простой электрической цепи:

. (107)

Чтобы определить ток I₃, необходимо определить параметры эквивалентного генератора и .

Таким образом, главное содержание расчета цепи методом эквивалентного генератора состоит в определении эквивалентных параметров и - внутренней части цепи.

В ычисляем параметры эквивалентного генератора. Электродвижущая сила эквивалентного генератора равна напряжению на выводах внутренней цепи (режим холостого хода), при отключенной внешней части (ветви , ) (рис. 38).

Принимаем . (108)

Учитывая, что имеет положительное направление от узла (2) к узлу (3), т.е.

. (109)

Э квивалентный генератор получается, если мы внутреннюю часть схемы между узлами (2) и (3) заменим одним источником питания с ЭДС и сопротивлением .

Учитывая (109), можно записать, что

. (110)

Таким образом для определения необходимо найти потенциалы . Потенциал найдем с учетом того, что в ветви, состоящей из Е₆, R₆, протекает ток J₄, как ток идеального источника тока.

Следовательно

Подставляя значение в формулу (), получим:

. (111)

Теперь определим потенциал т. (2), по второму закону Кирхгофа, воспользовавшись тем, что для контура (1), (2), (4), (1), можно определить ток I₂, который один и тот же в ветви (1) – (4), т.е. . Потенциал определяем из уравнения . Откуда, с учетом , имеем , откуда . Уравнение для указанного контура, согласно второму закону Кирхгофа, имеет вид: .

Откуда , следовательно

. (112)

Найдем напряжение :

. (113)

Определим потенциал второго узла методом узловых потенциалов. Для этого определяем собственную и общую проводимость.

Собственная проводимость узла (2) равна сумме всех проводимостей ветвей, примыкающих к этому узлу. К узлу (2) примыкает ветвь 2 с проводимостью и ветвь 5 с проводимостью .

Таким образом, собственная проводимость узла (2) в уравнениях записывается со знаком плюс «+» и равна:

. (114)

Теперь определяем общую проводимость между узлами (2) и (4). Узел (2) связан с узлом (4) общей проводимостью

. (115)

Общая проводимость в уравнения цепи вносится со знаком минус «-» - .

Чтобы составить узловые уравнения для потенциала любого узла электрической цепи, необходимо определить собственную проводимость узла (сумма всех проводимостей ветвей, примыкающих к узлу цепи), общую проводимость (проводимость между двумя узлами). Собственные проводимости узлов записываются со знаком плюс, а общие проводимости записываются со знаком минус. Если ЭДС направлены к узлу, берутся со знаком плюс, в противном случае со знаком минус. Также, ток источника тока берется в уравнении со знаком плюс, если он направлен к узлу и с минусом – если он направлен от узла.

Для составления уравнения узлового потенциала необходимо в левой части уравнения взять произведение потенциала узла на собственную проводимость со знаком плюс, произведение потенциала узла , который связан с заданным, на общую проводимость между этими узлами со знаком минус. Итак, левая часть узлового уравнения для узла (2) относительно узла (4) будет иметь вид: . (116)

В правой части берется сумма произведений ЭДС на проводимости ветвей и токов источников тока, при чем, если ЭДС и ток источника тока направлено к узлу, то эти слагаемые берутся со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Уравнение правой части для узлового потенциала узла (2) по отношению к узлу (4) будет иметь следующий вид, так как J₅ направлен от узла (2) и ЭДС отсутствуют, равно

. (117)

Полное уравнение для узла (2) относительно узла (4) будет иметь следующий вид:

. (118)

Потенциал узла (4) известен из предыдущего решения:

Далее подставляем значения в уравнение (118): , откуда , следовательно,

и, окончательно,

. (119)

Результат этого метода чуть завышен, это определяется точностью, с которой мы определяем проводимости ветвей. В нашем случае мы взяли точность определения проводимостей до второго знака после запятой . Если вычислять с точностью до 3, 4, 5 знаков, то результат будет точнее.

Таким образом, точность метода узловых потенциалов зависит от точности определения проводимостей ветвей, чем с большей точностью (до 3-го, 4-го, 5-го значащего числа после запятой) мы определяем проводимости ветвей, тем точнее метод узловых потенциалов.

Определяем внутреннее сопротивление эквивалентного генератора , которое равно общему сопротивлению внутренней части цепи относительно узлов (2) и (3) при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока для рассматриваемого двухполюсника и отключенной внешней части цепи ( ).

Э квивалентная схема двухполюсника для определения , приобретает вид:

Которая получена из схемы (рис. 38).

Анализируя схемы рис. 40, рис. 41, приходим к выводу, что R₂ и R₅ включены параллельно и к ним последовательно подключено сопротивление R₆. Общее сопротивление относительно узлов (2) и (3) будет равно сумме общего сопротивления параллельно включенных резисторов R₂ и R₅ и сопротивления R₆, следовательно .

Подставляем значение и в уравнение для , получаем:

Таким образом, выходное сопротивление двухполюсника, равное внутреннему сопротивлению равно .

Теперь можно определить ток в третьей ветви .

Результат совпадает со всеми результатами расчета тока I₃ другими методами.

13. Проверяем соблюдение баланса мощности в электрической цепи. Определяем расход энергии за t = 10 с.

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей потребителей .

Причем для источника ЭДС, направления ЭДС которого совпадает с направлением тока, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную , и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если направление ЭДС и тока противоположны, то источник ЭДС не поставляет мощность в цепь (рис. 43), а потребляет ее , и произведение EI войдет в управление энергетического баланса с отрицательным знаком.

Для источника тока, если направление тока внутри источника J и напряжение между его выводами U_ab противоположны (рис. 44).

.

Если же направление тока внутри источника J и напряжения между его выводами U_ab совпадают по направлению, то (рис. 45):

.

Составим баланс мощностей цепи согласно выражению

1. Для первой ветви, в которой имеется идеальный источник ЭДС и направление ЭДС Е₁ совпадает с током I₁, следовательно:

.

2. Во второй ветви источников электрической энергии нет. Ветвь потребляет электрическую энергию:

.

3. В третьей ветви имеется источник ЭДС Е₃ и сопротивление R₃. Так как направление тока I₃ встречно направлению ЭДС Е₃, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее и произведение E₃ I₃ войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком:

.

Сопротивление R₃ является приемником электрической энергии. Мощность, выделяемая на нем равна:

.

4. В четвертой ветви имеется идеальный источник тока, причем направление тока J₄ и напряжение по направлению совпадают, следовательно

.

5. В пятой ветви также имеется источник тока J₅, направление тока внутри источника тока J₅ и направление напряжения не совпадают, значит:

.

Сопротивление R₅ в этой же цепи является приемником электрической энергии, следовательно,

.

6. В шестой ветви имеется источник ЭДС Е₆ и сопротивление R₆. Источник ЭДС является источником электрической энергии. Направление ЭДС Е₆ и направление тока I₆ совпадают, следовательно:

.

Сопротивление R₆ является приемником электрической энергии. Мощность, потребляемая в нем равна .

Проанализировав, каким образом электрическая энергия источников электрической энергии перераспределяется в ветвях электрической цепи составим в соответствии с выражением ; уравнение баланса мощностей:

Подставляем в уравнение баланса мощностей значения всех величин, полученных при решении электрической цепи:

получим:

. Далее

и окончательно:

Таким образом, мы убедились, что при верном решении баланс мощностей цепи выполняется.

В этой связи делаем вывод, что наиболее полной (исчерпывающей) проверкой правильности расчета электрической цепи является выполнения условия баланса мощностей. Поэтому полезно составлять баланс мощностей даже в тех случаях, когда по условию задачи его можно и не составлять.

Определяем расход энергии за 10с.: если для поддержания тока I в каком-либо участке электрической цепи требуется иметь на зажимах участка напряжение U, то работа электрического тока на этом участке за время t может быть выражена формулой , а соответствующая мощность .

Если напряжение в этих формулах выражено в вольтах, ток – к амперах, а время – в секундах, то мощность измеряется в ваттах (Вт), а работа в джоулях (Дж) или ватт - секундах (1 ватт - секунда = 1 вольт – ампер – секунда = 1 джоуль).

Если же время выражать не в секундах, а в часах (ч), то работа получается в более крупных единицах – ватт – часах (Вт ч). Значит 1 Вт ч = 3600 Дж.

Энергия, расходуемая за t = 10 с в электрической цепи при мощности источников 9,78 Вт равна: