11. Составить систему контурных уравнений, определить токи в ветвях

Метод контурных токов сводится к составлению и решению систем уравнений, получаемых только по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС.

Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных для независимых контуров, т.е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирхгофа. Благодаря этому удается снизить порядок системы уравнений.

П од контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. Рассмотрим схему цепи, имеющую три независимых контура I, II, III.

Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток I₁₁, I₂₂, I₃₃. направление контурных токов выбираем одинаково – по часовой стрелке. Однако в общем случае, и особенно при решении четырехполюсников, направление обхода контура выбирается так, как это удобно, т.е. произвольно. Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что значения контурных токов совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

.

Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров:

.

Таким образом, по известным контурным токам легко можно найти действительные токи всех ветвей.

Для определения контурных токов I₁₁, I₂₂, I_33, рис. 33, необходимо составить для трех контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.

Для этой цели определяем собственные сопротивления контуров R₁₁, R₂₂, R₃₃, которые равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур:

(считаем, что равны нулю – источники ЭДС – идеальные (внутренние сопротивления равны нулю)).

Далее определяем взаимные (общие) сопротивления смежных контуров , представляющие собой сопротивления, входящие одновременно в каждый из двух смежных контуров (сопротивление общей ветви 2-х контуров), таким образом:

(сопротивление R₂ одновременно принадлежит первому I и II контурам); сопротивление связи первого контура со вторым;

(сопротивление R₅ одновременно принадлежит второму II и III контурам); сопротивление связи второго контура с третьим.

Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров I, II, III:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для контура необходимо учитывать, что алгебраическая сумма падений напряжений выражается произведением тока рассматриваемого контура I_nn на его собственное сопротивление R_nn, взятое со знаком «плюс», и произведением тока другого (смежного) контура I_nn на общее сопротивление контуров R_nm, (где n – 1, 2, 3…; m – 2, 3…) взятое со знаком «минус». Итак, имеем следующие уравнения:

Для I контура:

Для II контура: (78)

Для III контура: .

Или в общем виде:

(79)

Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: .

Уравнения для контурных токов можно записать в матричной форме:

(80)

Здесь [R] – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных токах контуров;

[I] – матрица столбец неизвестных контурных токов;

[Е] – матрица столбец известных контурных ЭДС:

.

Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю.

Так для нашей цепи рис. 33, имеем:

(81)

Решением уравнения (80) будет

, где (82)

- матрица, обратная матрице коэффициентов .

Применим вышеизложенную методику для решения нашей задачи (схемы замещения). Решение проведем, используя метод контурных токов.

На рисунке 34 выбраны независимые контуры I, II и их направления обхода (положительные направления контурных токов I₁₁, II₂₂, по часовой стрелке).

Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно количеству независимых контуров (контуры, отличающиеся хотя бы одной ветвью).

Для нашей схемы число независимых контуров равно N=2, ветвь с источником тока не может создать независимый контур. Значит и уравнений по второму закону Кирхгофа будет два (N=2).

Контурные токи I₁₁, II₂₂ совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

(83)

Токи смежной ветви равны разности контурных токов соседних контуров:

. (84)

Далее определяем собственные сопротивления контуров (сопротивлений, входящих в замкнутый контур)

. (85)

и взаимные (общие) сопротивления смежных контуров I и II, представляющие собой сопротивления, входящие одновременно в каждый из двух смежных контуров (сопротивление общей ветви 5 (R₅) контуров I и II), таким образом:

. (86)

Теперь составим уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров I и II. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для контура, необходимо учитывать, что алгебраическая сумма падений напряжений выражается произведением тока рассматриваемого контура (для I контура –I₁₁) на его собственное сопротивление R₁₁ [для второго конура –I₂₂ R₂₂], берется со знаком плюс «+», а произведение тока другого контура (смежного) II. I₂₂ на общее сопротивление контуров , берется со знаком минус «-». Уравнения имеют вид:

, (87)

или

. (88)

Эти уравнения записаны с учетом того, что J₅ как контурный ток «замыкаем» через сопротивление R₅, а J₄, как контурный ток «замыкаем» через

В матричной форме уравнения принимают вид:

(89)

Подставив значения всех параметров в матричное уравнение (89), получим:

(90)

. (91)

Используя сведения по решению уравнений с квадратными матрицами (при помощи определителей), имеем

(92)

. (93)

Рассчитываем токи в ветвях:

(94)

.

Результат получили тот же, что и при расчете цепи методом узловых потенциалов.

Применим вышеизложенную методику для нашей схемы замещения, но положительные направления контурных токов выберем против часовой стрелки.

На рисунке (рис. 35) выбраны независимые контуры I, II и их направления обхода (положительные направления контурных токов I₁₁, I₂₂ против часовой стрелки).

Число уравнений равно числу независимых контуров, ветвь с источником тока не может создать независимый контур (контур, отличающийся от других контуров хотя бы одной ветвью).

Для нашей схемы число независимых контуров N=2. значит и уравнений по второму закону Кирхгофа 2 (два).

Контурные токи I₁₁, I₂₂ совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

. (95)

Токи смежной ветви равны разности контурных токов соседних контуров

. (96)

Далее определяем собственные сопротивления контуров (97)

и взаимные (общие) сопротивлении смежных контуров I и II, представляющие собой сопротивления, входящие одновременно в каждый из двух смежных контуров (сопротивление общей ветви 5 контуров I и II). Таким образом:

. (98)

Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров I, II:

. (99)

Эти уравнения записаны с учетом того, что J₅ как контурный ток «замыкаем» через R₅, а J₄ как контурный ток «замыкаем» через . В матричной форме уравнения принимают вид:

. (100)

Подставив значения всех параметров в матричное уравнение (100), получим:

, (101)

. (102)

Используя теорию по решению уравнений при помощи определителей, имеем

(103)

(104)

. Следовательно:

(105)

.

Данный результат сравниваем с результатом, полученным при решении методом узловых потенциалов и методом уравнений Кирхгофа.

(106)

.

Как видно из сравнения результаты совпадают с точностью ошибки вычислений. А это вполне удовлетворительно.