- •0909 Алгебра и геометрия Толстиков а.В. Курс 1. Семестр 1. Лекция 9 (продолжение). Элементы векторной алгебры План
- •§ 1. Геометрические векторы
- •Операция сложения векторов и ее свойства.
- •Вычитание векторов.
- •7. Операция умножения вектора на число и ее свойства.
- •2. Базис векторного геометрического пространства
2. Базис векторного геометрического пространства
1. Базис векторов прямой. Множество V1 векторов фиксированной прямой образует векторное пространство.
Теорема 1. Любой ненулевой вектор e прямой образует базис векторного пространства V1.
Доказательство. По свойству 3 § 2 вектор e образует линейно независимую систему. Пусть a V1. Тогда по свойству линейной зависимости вектор a линейно выражается через вектор e. По определению 1 вектор e образует базис пространства V1.
Теорема 2. Векторы a и b коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.
Доказательство. Пусть вектора a и b коллинеарны. Если a = 0, то по свойству 3 § 3 вектора a, b линейно зависимы. Если a 0, по теореме о линейной зависимости систем векторов вектор b линейно выражается через вектор a, и векторы a, b линейно зависимы.
Обратно, если векторы a, b линейно зависимы, то по свойству 1 § 3, один из этих векторов линейно выражается через другой и вектора a и b коллинеарны.
Следствие 1. Векторы a и b коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.
Векторы a и b неколлинеарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.
В силу предложений, полученных в предыдущем параграфе, получаем следующие следствия.
Следствие 2. Векторы a = (1, 2,... ,n), b = (1, 2,... ,n) неколлинеарны тогда только тогда, когда ранг матрицы
, (12)
составленной из координат векторов, равен 2. Векторы a и b коллинеарны тогда и только когда ранг матрицы (12) равен 1.
Ранг матрицы (12) равен 1 тогда и только тогда, одна из строк матрицы получается из другой строки, умножением на одно и то же число. Поэтому получаем еще следующее утверждение.
Следствие 2. Векторы a = (1, 2,... ,n), b = (1, 2,... ,n) неколлинеарны тогда только тогда, когда координаты векторов соответственно пропорциональны, т.е.
, (13)
г де предполагается, что числитель равен нулю, если знаменатель равен нулю.
Базис векторов на плоскости. Множество V2 векторов фиксированной плоскости образует векторное пространство.
Теорема 3. Любая упорядоченная система двух неколлинеарных векторов a, b V2 образуют базис векторного пространства V2.
Доказательство. Пусть a и b неколлинеарные вектора плоскости. По следствию 2 теоремы 2 векторы a и b образует линейно независимую систему. Пусть с V2. Отложим векторы a, b и с от точки O: a = , b = и с = (см. рис. 17). Проведем через точку C прямую l, параллельную прямой OB. Так как векторы a и b неколлинеарны, то прямые OA и l пересекаются в точке D. Тогда = + . Так как векторы и соответственно коллинеарны векторам a и b, то по свойству линейной зависимости они соответственно линейно выражается через векторы a и b: = a, = b. Поэтому с = = a + b, и по определению 1 вектора a и b образует базис пространства V2.
По теореме 3 базис векторов на плоскости образуют любые два неколлинеарные вектора, поэтому любой вектор на плоскости имеет две координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.
Следствие 1. Вектора a = (1, 1), b = (2, 2) образуют базис векторов плоскости тогда и только тогда, когда
= 0.
Теорема 4. Векторы a, b и с компланарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.
Д оказательство. Пусть вектора a, b и с компланарны. По определению они могут быть изображены на одной плоскости . Если вектора a, b коллинеарны, то по следствию 1 теоремы 2 они линейно зависимы. Тогда по свойству по свойству линейной зависимости вектора a, b, с линейно зависимы. Если вектора a, b неколлинеарны, то по теореме 3 они образуют базис векторов плоскости . Тогда вектор с линейная комбинация векторов a, b, и по свойству линейной зависимости векторы a, b, с линейно зависимы.
Обратно, если векторы a, b, с линейно зависимы, то по свойству линейной зависимости, один из этих векторов линейно выражается через два другие. Тогда вектора могут быть изображены одной плоскости и поэтому коллинеарны.
Следствие 1. Векторы a, b и с некомпланарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.
Базис векторов пространства. Рассмотрим множество V3 всех векторов пространства.
Теорема 5. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов a, b, с V3 образуют базис векторного пространства V3.
Доказательство. Пусть a, b, с некомпланарные векторы. По следствию 1 теоремы 8 они образует линейно независимую систему. Пусть d V3. Отложим векторы a, b, с и d от точки O: a = , b = , с = , d = (см. рис. 18). Проведем через точку D прямую l, параллельную прямой OD. Так как векторы a, b, с некомпланарны, т о прямая l пересекает плоскость OAB в точке E. Тогда = + . Так как векторы лежит в плоскости OAB, а вектора образуют базис векторов этой плоскости, то по теореме 7 = a + b, где , R. Так как вектор коллинеарен вектору c, то по теореме 8 § 1 он линейно выражается через вектор с: = с. Поэтому d = = a + b + с и по определению 1 вектора a, b, с образует базис пространства V3.
По теореме 5 базис векторов на пространстве образуют любые три некомпланарные вектора, поэтому любой вектор в пространстве имеет три координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.
Следствие 1. Вектора a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 2), с = (3, 3, 3) образуют базис векторов пространства тогда и только тогда, когда
= 0.
Теорема 6. Любые четыре вектора a, b, с, d в пространстве линейно зависимы.
Доказательство. Если векторы a, b, с компланарны, то по теоремы 5 они линейно зависимы. Тогда по свойству линейной зависимости по свойству 4 § 3 вектора a, b, с, d линейно зависимы. Если вектора a, b, с некомпланарны, то по теореме 5 они образуют базис векторов пространства. Тогда вектор d линейная комбинация векторов a, b, с и по свойству линейной зависимости векторы a, b, с, d линейно зависимы.
Задача 1. Доказать что векторы a = (1, 2, 0), b = (3, 2, 1), с = (0, 1, -1) образуют базис в пространстве и выразить вектор d = (5, 5, 2) через векторы базиса.
Решение. Так как определитель
,
то векторы a, b, с образуют базис пространства V3.
Для того, чтобы найти координаты вектора d в базисе a, b, с составим векторное уравнение
x a + y b + z c = 0. (14)
и запишем его в координатной форме:
Решаем эту систему линейных уравнений: x = 2, y = 2, z = -1 и находим d = 2a + b - с.