- •Глава 3 основы численных методов
- •§ 3.1. Основные понятия линейной алгебры
- •3.1.1. Линейное пространство. Евклидово пространство.
- •3.1.2. Арифметическое пространство. Векторы и операции над ними. Линейная зависимость векторов. Базис.
- •3.1.3. Матрицы и операции над ними. Некоторые виды матриц.
- •3.1.4. Скалярное произведение векторов.
- •3.1.5. Норма вектора. Некоторые свойства векторных норм. Абсолютная и относительная погрешности. Сходимость.
- •3.1.6. Норма матрицы. Некоторые свойства матричных норм.
- •3.1.7. Число обусловленности матрицы.
- •§ 3.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.2.1. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (слау). Понятие о прямых методах решения слау.
- •3.2.2. Метод Гаусса.
- •3.2.3. Вычисление определителя матрицы коэффициентов системы. Некоторые свойства определителей.
- •3.2.4. Выбор главного элемента.
- •3.2.6. Итерационное уточнение.
- •3.2.7. Метод Гаусса для ленточной слау.
- •3.2.8. Слау с несколькими правыми частями.
- •3.2.9. Вычисление обратной матрицы .
- •§ 3.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.3.1. Понятие об итерационных методах решения слау.
- •3.3.2. Метод Зейделя и метод простой итерации.
- •3.3.3. Общий вид итерационного процесса.
- •§ 3.4. Методы вычисления собственных значений и собственных векторов матриц
- •3.4.1. Основные определения.
- •3.4.2. Характеристическое уравнение.
- •3.4.3. Понятие о методах решения проблемы собственных значений.
- •3.4.4. Определение максимального по модулю собственного числа степенным методом.
- •3.4.5. Собственные значения обратной матрицы.
- •3.4.6. Обобщенная проблема собственных значений.
- •3.4.7. Вычисление минимального собственного числа степенным методом.
- •§ 3.5. Методы численного интегрирования
- •3.5.1. Понятие о формулах численного интегрирования.
- •3.5.2. Формула прямоугольников (формула средних).
- •3.5.3. Формула трапеций.
- •3.5.4. Формула Симпсона.
- •3.5.5. Точность квадратурных формул.
- •3.5.6. Вычисление интеграла с заданной точностью.
- •3.5.7. О современных методах численного интегрирования.
- •§ 3.6. Методы решения нелинейных уравнений
- •3.6.1. Уравнения с одним неизвестным (скалярные).
- •3.6.2. Решение систем нелинейных уравнений.
- •§ 3.7. Метод наименьших квадратов
- •3.7.1. Понятие о методе наименьших квадратов (мнк).
- •3.7.2. Применение мнк для решения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений.
Глава 3 основы численных методов
§ 3.1. Основные понятия линейной алгебры
Большинство прикладных вычислительных задач, в частности задач расчета строительных конструкций и сооружений, каком-либо этапе сводится к решению задач линейной алгебры. В этом параграфе изложены основные начальные понятия из этой области [10-11,15-18,34-37,39-40,64-65,69].
3.1.1. Линейное пространство. Евклидово пространство.
Линейным пространством называется множество элементов любой природы, если выполнены следующие три требования:
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам и множества ставится в соответствие третий элемент этого множества, называемый суммой элементов и и обозначаемый символом .
II. Имеется правило, посредством которого любому элементу множества и любому вещественному числу ставится в соответствие элемент этого множества, называемый произведением элемента на число и обозначаемый символом .
III. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:
1) (переместительное свойство суммы);
2) (сочетательное свойство суммы);
3) существует нулевой элемент 0 такой, что для любого элемента (особая роль нулевого элемента);
4) для каждого элемента существует противоположный элемент такой, что ;
5) для любого элемента (особая роль числового множителя 1);
6) (сочетательное относительно числового множителя свойство);
7) (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство);
8) (распределительное относительно суммы элементов свойство).
Элементы произвольного линейного пространства принято называть векторами.
В сформулированном определении линейного пространства числа , , … брались из множества вещественных чисел. Поэтому определенное таким образом пространство естественно называть вещественным линейным пространством. При более широком подходе можно брать , , … из множества комплексных чисел. В результате будем иметь понятие комплексного линейного пространства.
Евклидовым пространством (вещественным евклидовым пространством) называется вещественное линейное пространство , если выполнены следующие два требования:
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства и ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом .
II. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1) (переместительное свойство или симметрия);
2) (распределительное свойство);
3) для любого вещественного ;
4) , если ненулевой элемент; , если нулевой элемент.
При введении понятий линейного пространства и евклидова пространства мы абстрагировались не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы соответствующие правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).