Глава 4. Задачи динамики

4.1 Основные понятия динамики

Динамический анализ используется для определения действия на конструкцию или ее составные части нагрузок, зависящих от времени. В отличие от статических расчетов в этом типе анализа принимается во внимание рассеяние энергии и инерционные эффекты переменных во времени нагрузок. Примерами таких нагрузок являются:

     циклические нагрузки (вращающиеся части оборудования);

     внезапно приложенные нагрузки (удар или взрыв);

     случайные нагрузки (землетрясение);

     любые другие переменные нагрузки.

Задачи, связанные с колебаниями, играют важнейшую роль в современной инженерной механике. Только динамические расчеты позволяют досконально изучить целый ряд прикладных проблем: колебания турбинных лопаток и дисков, балансировку вращающихся валов и роторов, колебания зубчатых передач, мостов, фундаментов и т.п.

Колебания классифицируются по ряду признаков:

         по способу возбуждения различают свободные колебания, вынужденные, параметрические и автоколебания;

         по виду деформаций, возникающих в элементах колеблющейся системы; в частности, применительно к стержневым системам рассматриваютсяпродольные, поперечные (изгибные) и крутильные колебания;

         в соответствии с законом, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени, различают периодические и непериодические колебания.

 Отметим, что приведенная классификация не является исчерпывающей.

В свою очередь все колеблющиеся системы подразделяются на системы с одной степенью свободы, с конечным числом степеней свободы и сбесконечным (иначе — системы с распределенными параметрами). Любая реальная механическая система состоит из бесконечного числа материальных точек, связи между которыми не являются абсолютно жесткими, поэтому число степеней свободы реальной механической системы бесконечно велико.

Для решения задач динамики применяются два основных способа:

      статический, основанный на применении уравнений динамического равновесия, которые отличаются от уравнений статического равновесия дополнительным учетом (согласно принципу Даламбера) сил инерции в виде произведения масс или их моментов инерции на ускорения;

      энергетический, основанный на применении закона сохранения энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энергии упругой системы есть величина постоянная.

Трудоемкость динамического расчета той или иной системы зависит прежде всего от ее числа степеней свободы.

Методы решения задач динамики весьма разнообразны и их изложение выходит далеко за рамки данной книги. Некоторые подходы будут рассмотрены ниже на конкретных примерах.

4.2 Динамические расчеты в программе ansys

В ANSYS можно выполнять следующие виды динамических расчетов: динамика переходных процессов, модальный анализ, отклик на гармоническое воздействие, спектральный анализ и отклик на случайную вибрацию.

Динамика переходных процессов

Под переходным процессом обычно понимается неустановившийся режим работы системы.

Этот вид динамического анализа применяется для определения параметров динамического поведения конструкций, подверженных действию нагрузок, изменяющихся во времени. Существуют три метода получения решения: полный динамический метод, метод приведения и метод суперпозиций. Все три метода основаны на применении общего уравнения динамики движения:

(4.1)

где

— матрица масс;

 — матрица сопротивлений;

— матрица жесткостей;

— вектор узловых ускорений;

— вектор узловых скоростей;

— вектор узловых перемещений;

— вектор нагрузок, зависящих от времени.

С помощью уравнения (4.1) определяют значения узловых перемещений  , которые в любой момент времени удовлетворяют условиям равновесия системы при наличии сил инерции и рассеяния энергии. Решить уравнение (4.1) можно прямым методом Ньюмарка или на основе метода суперпозиции форм колебаний.

Наиболее общим является полный метод расчета переходных динамических процессов. В этом методе для решения используются полные, нередуцированные матрицы, входящие в разрещающее уравнение задачи: матрица масс  , матрица сопротивлений  , матрица жесткостей  . Этот метод позволяет учитывать широкий набор нелинейностей: пластичность и ползучесть материала, большие прогибы и деформации, изменение жесткости с ростом напряжений, контактные нелинейности. Разрешаются также любой вид механических и тепловых нагрузок как в узлах (сосредоточенные силы и заданные перемещения), так и приложенных к элементу (давление и температура), и инерционные нагрузки.

Полный динамический метод использует одношаговую процедуру для определения перемещений и напряжений. Решение уравнения движения основано на схеме прямого интегрирования Ньюмарка в сочетании с методом Ньютона-Рафсона (для учета нелинейных эффектов).

В полном методе доступен вариант автоматического выбора шага по времени. Эта опция позволяет использовать переменный шаг по времени для достижения приемлемого баланса между достигаемой точностью решения и компьютерными затратами.

Еще одной характерной особенностью полного динамического метода является возможность моделировать кинематику конструкций с подвижными соединениями. Для моделирования обычных и универсальных шарниров, жестких и гибких связей, гидроцилиндров и других объектов, встречающихся в машинах и механизмах, можно использовать сочетание специальных элементов и сочленение узлов.

В тех случаях, когда нелинейными эффектами допустимо пренебречь, для ускорения решения динамических задач можно использовать метод приведения (редуцированный метод) или метод суперпозиции. При этом каждый метод предполагает линейный характер поведения системы. И хотя предполагается отсутствие нелинейностей общего вида, допускаются специальные условия зазора, что позволяет решать задачи соударения. Эти два метода полезны для предварительного исследования конструкции перед выполнением более трудоемкого полного анализа переходных процессов.

В редуцированном методе динамического анализа предполагаются, что матрицы  ,  ,   разрешающего уравнения являются линейными. Для решения уравнений движения используется метод прямого интегрирования Ньюмарка, шаг по времени принимается постоянным. Нагрузки включают усилия в узлах, начальные перемещения и силу тяжести.

В методе приведения процедура решения выполняется за два шага. Первый шаг состоит в определении узловых перемещений для ведущих степеней свободы. Если нужно получить значения деформаций, напряжений, опорных реакций и т.п., то имеется возможность выполнить второй шаг — повторный проход, чтобы получить решение для всего набора степеней свободы в требуемые моменты времени.

Метод суперпозиции подобен методу приведения — с его помощью выполняется многошаговый линейный анализ с постоянным шагом по времени, но есть и различия. В этом методе проводится суммирование собственных форм колебаний, полученных в модальном анализе, с тем, чтобы найти общий отклик конструкции. Поэтому первым шагом решения является проведение модального анализа. При проведении модального анализа можно использовать приведенные, редуцированные матрицы или полные матрицы.

Выходные величины полученного решения (в виде узловых перемещений, деформаций, напряжений, усилий и т.п.) для всех перечисленных методов представляют собой функции времени. Каждую из этих величин можно вывести на монитор в виде графика зависимости от времени или некоторой другой переменной с помощью постпроцессора истории нагружения. Постпроцессор общего назначения позволяет просмотреть результаты анализа переходного процесса для любого момента времени (например, картину напряженно-деформированного состояния).

Модальный анализ

Модальный анализ позволяет определить собственные частоты и формы колебаний. Кроме того, он используется как исходный для других, более подробных динамических расчетов, таких, как нестационарный динамический анализ или отклик системы на гармоническое воздействие.

В программе ANSYS модальный анализ является линейной процедурой.   Любые нелинейности вроде пластичности или элементов зазора-контакта игнорируются, даже если они и заданы. Доступны четыре метода выявления собственных форм колебаний, в том числе и с учетом демпфирования.

Модальный анализ может проводиться для предварительно напряженных конструкций, таких, как лопатки вращающегося турбинного диска. Еще одной полезной особенностью является учет модальной циклической симметрии, что  дает возможность свести анализ всей конструкции к анализу ее части.

Нелинейные конечные элементы, если таковые используются в модели, трактуются как линейные. Например, жесткость элементов контакта рассчитывается, исходя из их начального положения, и затем не изменяется.

При выполнении модального анализа задаются модуль Юнга и плотность материала, который предполагается линейным, изотропным или ортотропным, со свойствами, зависящими или независящими от температуры.

При определении собственных форм колебаний можно использовать четыре метода: сокращенный, подпространственный, несимметричный (для задач с несимметричной матрицей, например, при взаимодействии жидкости с конструкцией) и декрементный (когда нельзя пренебречь трением, например, при анализе движения по опорной поверхности).

Для большинства приложений нужно выбирать между двумя методами:  сокращенным и подпространственным. Первый из них работает быстрее, так как использует сокращенную (сгущенную) систему матриц для получения решения. Однако по сравнению со вторым методом он менее точен.

Файл результатов расчета содержит собственные частоты и формы колебаний, а также соответствующие напряжения и усилия.

Отклик системы на гармоническое воздействие

Любая достаточно длительная циклическая нагрузка вызывает гармонический отклик механической системы. Анализ реакции на гармоническое воздействие  дает возможность определить установившийся отклик линейной механической системы на синусоидальную нагрузку и, таким образом, оценить способность   системы противостоять резонансным явлениям, усталостному разрушению и   другим вредным эффектам вибрации.

Основная идея метода состоит в том, чтобы получить отклик системы при нескольких частотах и построить зависимость определенных параметров (обычно перемещений) от частоты, затем выявить частоту, при которой реакция максимальна, и получить значения напряжений при этой частоте.

Любые нелинейности системы игнорируются. Анализ можно проводить для предварительно напряженной конструкции, например, для термообработанной детали (при условии, что возбуждаемые напряжения много меньше термических).

Используются три метода решения: полный, сокращенный и метод суперпозиции форм колебаний. (В качестве еще одного метода можно использовать проведение динамического анализа при гармоническом воздействии.)

Полный метод — самый простой; он использует систему матриц задачи (как симметричных, так и несимметричных) целиком, без их редукции. Преимущества метода: нет необходимости выбирать главные степени свободы и формы колебаний; все перемещения и напряжения вычисляются за один "проход"; доступны все виды нагрузок. Основной недостаток: значительные затраты времени по сравнению с двумя другими методами.

Сокращенный метод дает возможность использовать главные степени свободы и матрицы уменьшенных размерностей. После определения перемещений для главных степеней свободы выполняется второй этап решения: получение значений перемещений, усилий, напряжений для полного набора степеней свободы. Этот метод применяется для рассмотрения гармонического отклика предварительно напряженных конструкций (например, термически обработанные детали с   остаточными напряжениями).

Метод суперпозиции решений использует результаты модального анализа для расчета отклика системы на гармоническую нагрузку.

Динамический анализ

Динамический анализ используется для определения реакции конструкции  (в виде перемещений, деформаций, напряжений и усилий) на действие произвольной нагрузки, меняющейся во времени таким образом, что приходится  учитывать инерционные эффекты и процессы рассеяния энергии.

Этот вид анализа гораздо более сложен, чем статический, поэтому, вообще говоря, необходимо предварять выполнение анализа работой по изучению физики проблемы, что может существенно сократить затраты инженерного труда и компьютерные ресурсы. Такая работа может состоять из следующих этапов:

- анализ более простых моделей (во многих случаях расчетные модели из пружин, масс и балок оказываются достаточными для получения динамического отклика сложной конструкции);

- проведение статического анализа перед введением нелинейностей (иногда можно убедиться, что в учете нелинейности нет необходимости);

- выполнение модального анализа для оценки реакции системы и определения шага решения по времени;

- использование метода подконструкций для линейных частей системы.

Используются три метода проведения динамического анализа: полный, сокращенный и метод суперпозиции форм колебаний. Полный метод является наиболее мощным, так как допускает приложение нагрузок всех видов (в том числе задание ненулевых перемещений, что рекомендуется делать с осторожностью) и позволяет включать все виды нелинейностей (пластичность, большие деформации, смещения и т.д.). Два других метода предполагают постоянство шага по времени в течение всего переходного процесса и допускают использование нелинейности только в виде элементов зазора для моделирования простого контакта типа "узел к узлу", но обычно работают быстрее полного метода.

Точность решения определяется шагом интегрирования: чем меньше шаг, тем выше точность. Слишком большой шаг приводит к ошибкам, влияющим на отклик системы на высоких частотах (и, таким образом, на отклик в целом). Чрезмерно малый шаг приводит к ненужным затратам времени. При выборе оптимального шага по времени следует руководствоваться следующими соображениями.

1. Использовать примерно 20 точек на период наиболее высокой частоты из тех, что представляют интерес.

2. Шаг по времени должен быть достаточно малым, чтобы с приемлемой  точностью описывать функцию нагружения.

3. При решении задач контактного взаимодействия шаг решения нужно выбирать таким образом, чтобы правильно отобразить длительность импульса. Для минимизации энергетических потерь необходимо разбивать время контакта, по крайней мере, на 30 интервалов. Если время контакта и соударяющаяся масса соответственно много меньше общего времени переходного процесса и массы системы, то число интервалов может быть меньше 30, так как в этом случае потери энергии незначительны. При   использовании сокращенного метода и метода суперпозиции таких интервалов не должно быть меньше 7, чтобы гарантировать устойчивость       решения.

4. Если представляет интерес распространение волны по конструкции, то на длине волны должно быть не менее 20 элементов.

В приведенных рекомендациях есть исключения, связанные с изменением жесткости системы при нагружении.

Использование процедуры автоматического выбора шага дает возможность программе менять его величину в процессе решения в зависимости от частоты  отклика и влияния нелинейностей, что уменьшает общее число шагов и сберегает ресурсы компьютера. Тем не менее, в ряде случаев (системы с доминирующим влиянием низких частот, сейсмическое возбуждение, преобладание кинематического движения над вибрационным и т.п.) применение этой процедуры не дает преимуществ.

Для большинства механических систем характерно затухание колебаний, параметры которого должны быть заданы при проведении динамического анализа. В программе ANSYS могут быть заданы следующие виды демпфирования:

 альфа- и бета-демпфирование (рэлеевское затухание), когда матрица демпфирования определяется как сумма произведений матрицы масс и матрицы жесткости на коэффициенты a и b соответственно;

задание коэффициента затухания b как свойства материала конструкции;

 постоянный коэффициент затухания в виде отношения расчетной величины демпфирования к критической;

 модальное демпфирование, т.е. задание различных коэффициентов демпфирования для разных форм колебаний;

с помощью конечных элементов с вязким демпфированием, таких, как COMBIN7, COMBIN14, COMBIN37, COMBIN40 и др.

Отклик на случайную вибрацию

Анализ случайных колебаний является вариантом спектрального анализа, который применяется для выявления отклика системы на возмущающие силы, не являющиеся детерминированными функциями времени; примерами таких сил могут служить нагрузки, возникающие при работе реактивных или ракетных двигателей.

Процедура определения отклика на случайные колебания подобна спектральному анализу в том, что для его получения требуется выполнить модальный анализ. Отличие состоит в использовании кривой зависимости спектральной плотности процесса от частоты, которая является статистической характеристикой энергии случайных возмущающих сил. Спектральная плотность может быть выражена через перемещения, скорости, ускорения, давления или усилия. Пользователь имеет возможность либо задать одну из разновидностей спектра и выполнить анализ для различных точек расчетной модели (однофакторный анализ), либо использовать несколько разных спектров плотности энергии и выполнить многофакторный анализ. Можно использовать как кинематическое возбуждение системы, так и силовое.  

Предполагается нормальное распределение (распределение Гаусса) спектральной плотности; отклики системы, вычисленные с помощью программы ANSYS, также  распределены по нормальному закону. Таким образом, имеется возможность вычислить ту вероятность, с которой фактический отклик будет превосходить расчетный.

Независимо от используемого типа спектральной плотности процесса,  есть три варианта решения: для перемещений (смещения, напряжения, деформации и усилия), для скоростей (скорости смещений, напряжений, усилий и т.д.), для ускорений (ускорения смещений, напряжений, усилий и т.д.). При анализе может быть получено любое нужное число этих решений.